《三角形全等的判定》总结与复习.doc

全等三角形的判定
一、知识点梳理
知识梳理:

一般三角形
直角三角形
条件
边角边（SAS）,角边角（ASA）
边边边（SSS）,角角边（AAS）
斜边、直角边（HL）
性质
对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、
对应线段（如对应边上的高、中线、对应角平分线）相等
备注
判定三角形全等必须至少有一组对边相等
注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。
技巧平台：
证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：
已知条件
寻找的条件
选择的判定方法
两角
夹边或任一边
ASA或AAS
一角及其对边
任一角
AAS
一角及邻边
角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角
SAS或ASA或AAS
两边
夹角或另一边或直角
A
SAS或SSS或HL
二、例题讲解
例1.（SSS）如图，已知AB=AD，CB=CD,那么∠B=∠D吗？为什么？
D
C
B
分析：要证明∠B=∠D，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所
在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接
AC边即可构造全等三角形。
解：相等。理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，
△ABC≌△ADC（SSS），∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）
点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

A
例2.（SSS）如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，证明：AD⊥BC.分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC可由△ABD≌△ACD求得。
证明：D是BC的中点，BD=CD
B D C
在△ABD与△ACD中，
△ABD≌△ACD(SSS)，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）
A
∠ADB+∠ADC=（平角的定义）
E
D
∠ADB=∠ADC=，AD⊥BC（垂直的定义）
例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.
C
B
分析：利用SAS证明两个三角形全等，∠A是公共角。
证明：在△ABE与△ACD中,
△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE.
D C
分析：先证明AF=BE，再用SAS证明两个三角形全等。
A E F B
证明：AE=BF(已知)
AE+EF=BF+FE,即AF=BE
在△DAF与△CBE中,
△DAF≌△CBE(SAS),DF=CE（全等三角形的对应角相等）
点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边（即AF=BE）相等即可，进而推出对应边相等。
B
D
O
C
A
练习、如图，AB,CD互相平分于点O，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需添加辅助线）。

例5.（ ASA）如图，已知点E,C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE.
A D
B E C F
分析：要证AB=DE，结合BE=CF，即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到证△ABC≌△DEF的条件。
证明:AB∥DE,∠B=∠DEF.
又BE=CF，BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC与△DEF中,
△ABC≌△DEF(ASA),AB=DE.
D
A
例6.（AAS）如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B,求证：△ABC≌△CDE.
分析：在△ABC与△CDE中，条件只有AC=CE,还需要再找另外两个条件，
B C E
由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。
证明：AC∥DE，∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.
又∠ACD=∠B,∠B=∠D.
在△ABC与△CDE中,,
△ABC≌△CDE(AAS).
解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。
例7.（HL）如图，在Rt△ABC中，∠A=,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.
A
分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE即可。
E
B D C
证明：连接BE.
ED⊥BC于D,∠EDB=.
在Rt△ABE与Rt△DBE中，
Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),AE=ED.
解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。
A
特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。
三、课堂同步练习
1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？为什么？

C

B D

A
2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,求证△ACD≌△CBE.

C D

B E

A
3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.

B D C

A D
4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠ACD.

C B

5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.

D C
6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.

O

A B

A
7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥ED,AC∥FD.求证AB=DE,AC=DF.

B F C E

D

8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。

9. 已知,求证：