全等三角形、轴对称能力提高练习.doc

AMPCB全等三角形、轴对称能力提高练习1.如图，P是等边ABC内的一点,连接PA、PB、PC.以PB为边作等边BPM，连接CM.（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若APC=100，PMC为直角三角形，求APB的度数AEDCB2.如图，已知在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AE=，求ABC+ADC的度数。FEMNPOBA3.点P在AOB内，点M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，M，N的连线交OA于点E，交OB于点F，若PEF的周长为20cm，求线段MN的长。拓展：（1）若AOB=45，连接OM，ON判断MON的形状，并说明理由。 （2）已知点P在AOB内，在OA,OB上分别取点E,F，使PEF周长最小，请画出图形，并写出过程。FEDACB4.已知如图，等腰RtABC中，BAC=90，点D是BC边的中点，且BE=AF.求证：DEDFAEDCB5.如图，ABC中，ABC=90，AB=CB，AE平分BAC，过点C作CDAD于点D，求证：CD=AEGECBAF7.如图所示，ABC中，AB=AC，在AB上取一点E，在AC延长线上取一点F，使BE=CF，EF交BC于G，求证：EG=FG8.已知ABC中，AB=AC，且过ABC的某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求ABC各内角的度数。CDBA9.如图，ABC中BD是AC边上的中线，BDBC于点B，且ABC=120.求证：AB=2BC.PBCA10.如图所示，ABC是等边三角形，P是三角形外一点，且ABP+ACP=180，求证：PB+PC=PAPADEFBC11.已知P是等边ABC内任意一点，过点P分别向三边作垂线，垂足分别是D、E、F，试证明PD+PE+PF是不变的值。ADEBC12.如图所示，等边ABC，D、E分别在AC、AB的延长线上，且CD=AE，求证：DB=DE21DCBA13.如图，在ABC中，AD平分BAC，ABC=2C，求证：AB+BD=AC.FEDCBA图3EDCBA图2DCBEA图114.在图1至图3中，ABC是等边三角形，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.观察思考：当点E为AB的中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AE DB(填“”，“”或“=”）；拓展延伸：当点E不是AB的中点时，如图2，猜想线段AE与DB的大小关系是：AE DB(填“”，“”或“=”），并说明理由（提示：在图2中，过点E作EFBC角AC于点F，得到图3）。15.如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD右侧作正方形ADEF.解答下列问题：如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时，（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，请说明理由。CBFDEA（2）如图4，如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动，其余条件不变，猜想当BCA等于多少度时，CFBC，请说明理由。CBFDEA图2图1FEDCBAFEDCBA图4图3FNMPEDCBA16.三角形ABC中，BD和CE是三角形的高，延长BD至点F，使BF=AC，在EC上取点P，使CP=AB，作FM垂直于BC，PN垂直于BC。求证PN+FM=BCPCBA17.如图，等腰直角ABC中，AC=BC，ACB=90，P为ABC内部一点，满足PB=PC，AP=AC，则BCP=( )ADECB18. 如图，ABC中，AB=AC，角BAC=90度，D为BC上一点，过D作DE垂直AD，且DE=AD，连接BE，求DBE 的度数。ACEDB19. 如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，点D是BC上一点，DEAD且DE=AD，求证：CEACDCAB20. ABC为等边三角形,BDA=ADC=60，试说明AD=BD+DCNMEBDCA21.在等边三角形ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边三角形CDE，使它与三角形ABC位于直线AE的同一侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：三角形CNM为等边三角形。22.正方形ABCD，E为BC上一点，AEF为直角，CF平分DCG。(1)如图（1），当点E在线段BC上时，求证：AE=EF(2)如图（2），当点E在BC的延长线上时，试判断AE=EF是否依然成立，并说明理由。DCBAFEG图(1)DCBAFEG图(2)OAMNDECB23. 如图，ABC，CDE是边等三角形，C为线段AE上一不动点CNAB AD=BEAOE=120度 CM=CNOC平分AOE OB+OC=OADM=CN其中正确的有AMPCB图（1）参考答案：1.（1）AP=CM证明 AB=BC ，ABP=CBM ，BP=BMABPCBM SAS AP=CMAMPCB图（2）（2） APC=100 BAP+BCP=BCP+BCM=PCM=100-60=40若CPM=90，如图（1）则APB=360-BPM-CPM-APC=360-60-90-100=110若CMP=90，如图（2）则APB=360-BPM-CPM-APC=360-60-50-100=150 AFEDCB 2. 过点C作CFAD，交AD的延长线于点FAC平分BAD ，CEAB AEC=AFC=90， EAC=FAC, CE=CFAECAFC AE=AF AE=(AB+AD) 2AE=AB+ADAB-AE =AE-AD AB-AE =AF-AD，即EB =FD在EBC和FDC中：CE=CF ，BEC=DFC=90 ， EB =FDEBCFDC B=FDC，即ABC=FDCFEMNPOBAFDC+ADC=180 ABC+ADC=1803. M、N分别是点P关于OA、OB的对称点EP=EM ，FP=FN PEF的周长=EP+EF+FP =EM+EF+FN，即PEF的周长=线段MNPEF的周长=20cm MN=20cm(1)连接OM，OP，ONM、N分别是点P关于OA，OB的对称点 OM=OP ，ON=OP ，MOA=POA ,NOB=POBOM=ONMON=MOA+POA +NOB+POB=2(POA +POB)=2AOBAOB=45， MON=90 ，MON是等腰直角三角形（2）分别作点P关于OA ，OB的对称点M、 N ，连接MN，分别交OA，OB于点E、F连接PE、PF，PEF即为所求。4.提示：连接AD，证ADFBDE5.提示：延长AB与CD的延长线交于点F，证ABECBF6.提示：（1）EC=BD (2)BOP=BAE=60，故BOP的大小与ABC形状无关。7.提示：过点E作EMAC，交BC于点M，证MEGCFG8.（1）当在底边BC边上取点时，分两种情况：45454545AECB图（1）xFxx2x2xACB图（2）如图（1），在BC上取点E，使AE=BE=CE时，容易计算得B=C=45 ，BAC=90；如图（2），在BC上取点F，使AB=FB，AF=CF，设B=C= x ，则FAC=x，BFA=BAF=2x ，所以有x+x+x+2x=180， x=36 ，2x=72，3x=108，B=C=36 ，BAC=108 ；3x2x2xxxGCBA图（4）（2）当在腰上取点时，也有两种情况：x2x2xxxDCBA图（3） 如图（3），在AC上取点D，使BD=AD=BC，设A=x，则ABD=x ，所以BDC=2x，C=2x，DBC=x，所以有x+2x+2x=180，x=36，2x=72.所以A=36，ABC=ACB=72.如图（4），在AC上取点G，使AG=BG，CG=CB，设A=x，则ABG=x，BGC=CBG=2x，所以，ABC=ACB=3x，所以x+3x+3x=180，x=，3x=.所以A=，ABC=ACB=综上所述，ABC各内角度数分别为45，45，90或36，36，108或36，72，72或，CDEBA9.如图，延长BD到点E，使DE=DB，连接AE. ADECDB，所以AE=BC，AED=90，由ABC=120，BDBC，所以ABD=30，所以AB=2AE=2BC10.延长PC到点D，使CD=BP，连接AD. ABP+ACP=180，ACP+ACD=180DPBCAABP=ACD.在ABP和ACD中：AB=AC ，ABP=ACD，BP=CDABPACD .AP=AD，BAP=CAD.BAP+PAC=60，CAD+PAC=60，即PAD=60PAD=60PAD是等边三角形AP=PD=PC+CDPAHDEFBCAP=PB+PC11.过点A作AHBC于H，连接PA、PB、PC.SABC=SPAB+SPBC+SPAC BC.AH=AB.PD+BC.PE+AC.PF又AB=BC=AC，AH=PD+PE+PFPD+PE+PF的值是等边ABC的高，是不变的值。12.如图，延长AE到点F，使EF=AB，连接DF.ADEFBC 证明ABDFED21EDCBA13.延长AB至点E，使BE=BD，连接DE，则BED=BDEABD=E+BDE，ABD=2EABC=2C，E=C在AED和ACD中：E=C，1=2，AD=AD ，AEDACDAC=AEAE=AB+BE，AC=AB+BD即AB+BD=AC14.提示：证明BDEFEC15. (1)CFBD，CF=BD 成立。提示：证明ABDACF (2) 如右图，过点A作AGAC交BC于点G，GABFEDCAGD+ACG=90 ，GAD+DAC=90CFBCACF+ACG=90，AGD=ACF四边形ADFE是正方形CAF+DAC=90，AD=AFGAD=CAF在AGD和ACF中：AGD=ACF,GAD=CAF,AD=AFAGDACFAG=ACAGC=ACG=45即BCA=45当BCA=45时CFBC16. 过点A作AQBC于点Q，FQNMPEDCBAAQB=90，BAQ+ABQ=90CEABPCN+ABQ=90BAQ=PCNPNBC CNP=90AQB=CNPPCBA又AB=CPABQCPNBQ=PN同理可证：ACQBFM, CQ=FMPN+FM=BQ+CQ, 即PN+FM=BC17.作PMBC，PNAC，垂足分别为M、N四边形PMCN是矩形 PNCMPBPCCMBMBCAC PN=ACAMNDECBAP=AC PNAP在直角PAN中，PAN30PCACPA75BCP90751518. 过点A作ANBC于点N，过点E作EMBC于点MDME=AND= 90，DAN+ADN=90DEADEDM+ADN=90EDM=DAN在EDM和DAN中：DME=AND ，EDM=DAN，DE=ADEDMDANDM=AN ，EM=DNAB=AC，BAC=90BN=ANBN=DMBN-MN=DM-MN,即BM=DNEM=BMNMCAEDBDBE=4519.提示：过点A作AMBC于点M，过点E作ENBC，交BC的延长线于点N 证明AMDDNE，其余如上题。EBDCA20.在DA上截取DE=BD，连接BEBDA=60，BDE是等边三角形，BD=BE，DBE=60ABC为等边三角形，ABC=60，AB=BC，ABC=DBEABC-CBE=DBE-CBE，即ABE=CBDBD=BE，BC=AB，CBDABESASCD=AE，AD=AE+DE=CD+BD 21.提示：证明ACDBCE，然后证明AMCBNCMCA=NCB， MC=NCMCA+MCB=60，NCB+MCB=60，即MCN=60，CNM为等边三角形。22.提示：（1）如图（1），在AB上截取AH=EC，证明AHEECF （2）如图（2），延长BA到点H，使AH=EC，证明AHEECFHGECFDBA图(2)HDCBAFEG图(1)23.正确的有:DCE=BAC=60，则DCBA，即CNBA.AC=BC,DC=EC，ACD=BCE=120，则ACDBCE(SAS)，得AD=BE.ACDBCE，则ADC=BEC.故AOE=180-(OAE+BEC)=180 -(OAE+ADC)=180 -DCE=120 .CD=CE，BEC=ADC(已证)，NCE=MCD=60 ，则NCEMCD(ASA)，CM=CN.过点CPAD，CQBEACDBCE(已证)，CP=CQ.(全等三角形对应边上的高相等)故OC平分AOE.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)在OA上截取OF=OC，连接CF.OC平分AOE，AOE=120. AOC=COE=60，则COF为等边三角形.故CF=CO，CFO=COE=60，AFC=BOC=120又ACDBCE(已证)，CAD=CBE.ACFBCO(AAS)，AF=BO. 所以，OB+OC=AF+OF=OA.错误.由NCEMCD(已证)，易知DM=EN.CNENDE=DECNEC.ENCN(大角对大边)，故DM=EN，DMCN.