1、平面向量三点共线定理的推论及空间推广
南昌外国语学校 梁懿涛
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一．问题的来源
平面向量三点共线定理:对于共面向量,，则、、三点共线的充要条件是．
二．问题的提出
问题1.在上述定理中，如果、时，分别有什么结论？
问题2.、有什么特定的意义吗？
问题3.上述问题可以推广到空间吗？
三．问题的解决
推论1. 对于不共线向量,若，则
（1）点在直线外侧（不
2、含点一侧）的充要条件是．
（2）点在直线内侧（含点一侧）的充要条件是．
证明：（1）必要性：如图1-1，连OC交AB于点，则存在实数，使得，，，，．
充分性：，存在，使得且．
，在直线上，在直线外侧．
同理可证（2）．
进一步分析，得：
推论. 对于不共线向量,若，则
（1）连接得直线，过点作平行于的直线，则、将平面分成三个区域，如图1-2点落在各区域时，、满足的条件是：
（Ⅰ）区：；（Ⅱ）区：；（Ⅲ）区：．特别地，当点落在上时，；当点落在上时，．
（2）直线、将平面分成四个区域，如图1-3，则点落在各区域时，、满足的条件是：
（Ⅰ）区：；（Ⅱ）区：；（Ⅲ）区
3、Ⅳ）区：．
证明略．
推论2.若，，则，且当，则点在线段上；当，则点在线段的延长线上；当，则点在线段的延长线上．
证明：且，，，
。当时，与同向，如图2-1所示，则点在线段上；当时，与反向，且，如图2-2所示，则点在线段的延长线上；当时，与反向，且，如图2-3所示，则点在线段的延长线上．
推论3. 点是所在平面上且与不重合的一点，若，则，，．
证明：只证的情形，其它情形可类似证明．
由得，，存在点使得，且，，，如图3，，同理有，，命题得证．
将以上结论拓展到空间，得：
推论4. 对于不共面的向量,若，则：
（1）若，则点在平面上（空间向量基本定理）；
4、2）若，则点在平面的外侧（不含点O一侧）；
（3）若，则点在平面的内侧（含点O一侧）．
证明：仿照推论1，略．
推论5. 对于不共面的向量，若，则
（1），，；
（2）；
（3），，．
证明：（1），，
由推论3，可知结论成立．
（2）由（1）得证．
（3），同理可证，．
推论6.已知四面体及与其顶点不重合的点，若，则
．
证明：只证的情形，其它情形可类似证明．
由，得，令，则四点共面，由推论5，，又，如图4，知，，同理可证，，，命题得证．
四．结论的应用
1．（2006年湖南（理））如图，∥，点在由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则
5、的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．
解析：由推论1及推论，有，且当，有，即． 答案为：，（，）．
2．（2009年安徽卷（理））给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中,则
的最大值是________．
解析：由推论3，，，设，，
，
，此时
3．(2010年高考天津卷理)如图，在中，，，则= ．
解析：，由推论2，得，．答案：．
4．（2011届黑龙江省哈尔滨三中高三10月月考理）如图所示，两射线与交于，下列向量若以为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是
6、 .
①；②；③；④； ⑤．
解析：由推论1及推论，可知的系数要满足，
适合的只有②．答案为②．
5．（江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟理）设点在的外部,且,则= ．
解析：由推论3，可知=．
5.（2011届江苏省南京师大附中高三学情调研）设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是 .
解析：由推论1及推论，可知满足，表示点（）到的距离的平方，由线性规化知识可得所求的范围为．
6．（自编题）已知点与四面体，且，则．
解析：由推论5，，可知．
7．（自编题）已知点与四面体，且，
则= .
解析：由推论6， 可知.
8．（自编题）已知点是四面体内一点（不包括边界），且，则点满足的概率是 .
解析：因为点是四面体内一点（不包括边界），由推论4，可知满足，如图建立空间直角坐标系，表示正方体中三棱锥内部的区域，而表示以点为圆心，半径为
的球体在正方体内部的区域，由几何概型知所求概率为
．
4
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