1、分 解 因 式
因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 ；
（2）完全平方公式 ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 ；
（2）立方差公式 ；
（3）三数和平方公式 ；
（4）两数和立方公式 ；
（5）两数差立方公式 ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
说明：前面有*的供选用
1．提取公因式法与分组分解法、公式法
2、
例1 分解因式：
（1）2（y－x）2+3（x－y）
（2）mn（m－n）－m（n－m）2
2．十字相乘法
例2 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）； （4）
解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
－1
－2
x
x
图1．2－1
－2
6
3、
1
1
图1．2－3
－ay
－by
x
x
图1．2－4
－1
－2
1
1
图1．2－2
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得
－1
1
x
y
图1．2－5
＝
*例3 因式分解：（双十字相乘法）
3．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．（求根法）
若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为.
4、例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）； （2）．
解： （1）令=0，则解得，，
∴=
=．
（2）令=0，则解得，，
∴=．
练 习
1．选择题：
（1）多项式的一个因式为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）若是一个完全平方式，则等于 （ ）
（A） （B）
5、 （C） （D）
2．填空：
（1）（ ）；
（2） ；
(3 ) ．
3．分解因式：
（1）5（x－y）3+10（y－x）2
（5）8a3－b3； （6）x2＋6x＋8；
（7） （8）；
*（11）．
*（12）．
4．在实数范围内因式分解：
（1） ； （2）；
（3）； （4）．
5．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
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