高考数学《向量》专题复习(专题训练).doc

高考《向量》专题复习
1.向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：.
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与共线的单位向量是.
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.
①向量与共线，则有且仅有唯一一个实数，使；
②规定：零向量和任何向量平行；
③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
④平行向量无传递性！（因为有)；
⑤相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；

2.平面向量的坐标表示及其运算：
（1）设，，则；
（2）设，，则；
（3）设、两点的坐标分别为，，则=；
（4）设，，向量平行；
（5）设两个非零向量，，则，
所以；
（6）若，则；
（7）定比分点：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数，使
，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点；当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为.
注意：①设、，分有向线段所成的比为，则，
在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.当时，就得到线段的中点公式.
②的符号与分点的位置之间的关系：
当点在线段上时；
当点在线段的延长线上时　；
当点在线段的反向延长线上时；

3.平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量、，作，，称为向量、的夹角。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量、，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.
零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。
（3）在上的投影为，投影是一个实数，不一定大于0.
（4）的几何意义：数量积等于与在上的投影的乘积
（5）向量数量积的应用：设两个非零向量、，其夹角为，则，
当时，为直角；
当时，为锐角或同向；注意：是为锐角的_____________条件；
当时，为钝角或反向；注意：是为钝角的_____________条件；
（6）向量三角不等式：
当同向，；
当反向，；
当不共线；

4.平面向量的分解定理
（1）平面向量分解定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使成立，我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。
（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线且.

5.空间向量
空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。
如，若、、三个向量共面，则.同时，对于空间任意一点O，存在，其中＝_____________

例1.下列命题：
①若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa；
②若向量a、b所在的直线为异面直线，则向量a、b一定不共面；
③向量a、b、c共面，则它们所在直线也共面；
④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，若OM=13OA+13OB+13OC，则点M一定在平面ABC上，且在内部；
⑤若且，则 ；
⑥若，则它们的夹角为锐角；
其中正确的命题有__________________（填序号）
例2.已知向量a，b夹角为π3，|b|=2，对任意x∈R，有|b+xa|≥|a-b|，则|tb-a|+|tb-a2|（t∈R）的最小值是______________

例3.如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=λAB，AF=μAC，且λ，μ∈（0，1），且λ+4μ=1，若线段EF、BC的中点分别为M、N，则MN的最小值为_____________

例4.已知平面向量a，b，c满足|a|=2，|b|=1，a•b=-1，且a-c与b-c的夹角为π4，则|c|的最大值为______________

变式训练：
1.已知向量a=（-1，-2），b=（1，λ），若a，b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____________
2.在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量BC在BA上的投影是_________

3.如图，在中，已知∠BAC=π3，|AB|=2，|AC|=3，点D为边BC上一点，满足AC+2AB=3AD，点E是AD上一点，满足AE=2ED，则|BE|=______________

4.在平面四边形ABCD中点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB=1，EF=2，CD=3．若AD⋅BC=15，则AC⋅BD的值为_____________

5.向量a，b的夹角为120°，|a|=|b|=2，|c|=4，则|a+b-c|的最大值为__________

6.已知O是面α上一定点，A，B，C是平面α上的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角。以下命题正确的是________________（填序号）
①动点P满足OP=OA+PB+PC，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|）（λ＞0），则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC）（λ＞0），则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足OP=OA+λ（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）（λ＞0），则的垂心一定在满足条件的P点集合中；
⑤动点P满足OP=OB+OC2+λ（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）（λ＞0），则的外心一定在满足条件的P点集合中；
7.已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若cosBsinCAB+cosCsinBAC=2mAO，
则m=_____________

8.（2017全国）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA•（PB+PC）的最小值是_______
9.在中，点A在OM上，点B在ON上，且AB//MN，2OA=OM，若OP=xOA+yOB，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，y+x+2x+1的取值范围为____________

10.如图，在直角坐标系中，△ABC是以（2，1）为圆心，1为半径的圆的内接正三角形，
△ABC可绕圆心旋转， M、N分别是边AC、AB的中点，的取值范围是_____________

11.如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，PM⋅ON的取值范围为_________

12.如图，矩形ORTM内放置5个边长均为3的小正方形，其中A，B，C，D在矩形的边上，且E为AD的中点，则（AE-BC）•BD= ______

13.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=，I2=，I3=，则（ ）

A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2 C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3
14.在坐标系中，O点坐标为（0，0），点A（3，4），点B（-4，3），点P在∠AOB的角平分线上，且OP长度为，则点P坐标为_____________
15.（2017浙江）已知向量，满足，，则的最小值是 ，最大值是
16.如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2，…P10，记=，则m1+m2+…+m10的值为_____________

17.已知向量、满足||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则当取最小值时，向量与的夹角为_________________（用反三角表示）
18.正十二边形A1A2…A12内接于半径为1的圆，从、、、…、这12个向量中任取两个，记它们的数量积为S，则S的最大值等于_________________

19.已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足AP=34AB+12AD+23AE，则P点到直线AB的距离为_________
20.已知=（1，2，3），=（2，1，2），=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为____________

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