1、《3.2.2 一些初等函数的导数表》同步练习
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2014～2015·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2 C．y＝x－1 D．y＝x＋1
3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是( )
A. B． C． D．
4．函数y＝si
2、n2x－cos2x的导数是( )
A．y′＝2cos B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝sin2x＋cos2x D．y′＝2cos
5．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形状是( )
6．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，则f ′(e)＝( )
A．e－1 B．－1 C．－e－1 D．－e
二、填空题
7．若曲线f(x)＝x－在点(a，f(a))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝__________
3、
8．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝___________.
9．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．
三、解答题
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
答案：
1、[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x
4、＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.
2、[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝lnx＋1，∴f ′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
3、[答案] A
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝，故选A.
4、[答案] A
[解析] y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin
5、2x＝2cos.
5、[答案] B
[解析] 依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，显然f ′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B.
6、[答案] C
[解析] ∵f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，∴f ′(x)＝2f ′(e)＋，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋，解得f ′(e)＝－，故选C.
7、[答案] 64
[解析] ∵f ′(x)＝－x－，∴f ′(a)＝－a－，∴切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，由条件知·a－·3a＝18，∴a＝64.
8、[答案]
[解析] f
6、′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f ′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.若f(x)＋f ′(x)为奇函数，则f(0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
9、[答案] ln2
[解析] ∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝，设切点为(x0，y0)，则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且＝2，解之得a＝ln2.
10、[解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f ′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－.∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
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