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实数综合与提高

一、实数的概念及分类
1、实数的分类
一是分类是：正数、负数、0； 另一种分类是：有理数、无理数 将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意的双重非负性：
0
3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2、性质：
（1）

（2）

（3） （）
（4） （）
3、运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
例题
例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm3,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多少平方厘米的纸板？

例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。

例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。
正确的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
例4 （1） 已知

(2)设

(3)若

（4） 设a、b是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由。

例5 （1）已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。
（2） 已知m，n是有理数，且，求m，n的值。

（3）△ABC的三边长为a、b、c，a和b满足，求c的取值范围。

（4）已知，求x的个位数字。

分类讲解
一、二次根式的非负性
1．若，则=_____________．
2．已知：，求的值．
3．已知、为实数，且，求的值．

二、二次根式的化简技巧
（一）构造完全平方
1．化简，所得的结果为_____________．
（拓展）计算．
2．化简：． 3．化简．
4．化简：． 5．化简：
6．化简：
（二）分母有理化
1．计算：的值．
2．分母有理化：． 3．计算：．

三、二次根式的应用
（一）无理数的分割
1．设为的小数部分，为的小数部分，则的值为（　　）
（A）　　　（B） 　 （C） 　 （D）
2．设的整数部分为，小数部分为，试求的值．
3．设的整数部分为，小数部分为，试求的值
（二）最值问题
1．设、、均为不小于3的实数，则的最小值是_______．
2．实数满足，则的最大值为_____________．
（三）性质的应用
1．设、、均为正整数，且，则 =_________．
2．已知，则的值为 ．
3．已知，求的值．
4．已知，，求的值．
（四）有二次根式的代数式化简
1．已知：，，求：的值．

2．已知，求的值．

3．已知：，为实数，且．求的值．

（五）比较数的大小
1．设a＞b＞c＞d＞0且，．则x、y、z的大小关系．

2．比较与的大小．

3．比较与的大小．

4．比较与的大小．

5．比较与的大小．

6．比较与的大小．

实数拓展提高训练题

1． 有下列说法：
（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。
其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果a有算术平方根，那么a一定是（　　）
A．正数 B．0 C．非负数 D．非正数

3．“121的平方根是±11”的数学表达式是(　　)
A．＝11 B．＝±11 C．±＝11 D．±＝±11
4．设a是9的平方根，B=（）2，则a与B的关系是（　　）
A．a=±B B．a=B C．a=﹣B D．以上结论都不对
5．下列说法：①－3是的平方根；②－7是(－7)2的算术平方根；③125的立方根是±5；④－16的平方根是±4；⑤0没有算术平方根．其中，正确的有(　 　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如果一个实数的算术平方根等于它的立方根，那么满足条件的实数有(   )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在0到20的自然数中，立方根是有理数的共有(     )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列一定没有平方根的是( )
A．－x B．－2x－1 C．－x2 D．－2－x2
9．下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
10．若，且，则、的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．不能确定
11.下列说法中：①9的平方根是3; ②是2的平方根;③–2是的平方根.④±是9的平方根；⑤0的平方根是0其中正确的是：
A. ①②③ B. ②③⑤
C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤
12．当a取____时,有意义.

13.若，则x的取值范围是
14．若，则的值为 ．
的平方根是________．
15.已知a是的整数部分，b是的小数部分，则(b－)a的立方根是________．
16.．在实数范围内，等式＋－＋3＝0成立，则＝________．
17．已知：若≈1．910，≈6．042，则≈_______，±≈____

18．(12分)把下列各数填入相应的集合内：
－，0，0.16，3，0.15，，－，，，，3.141 592 6，0.101 001 000 1….
整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
正数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
负数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}；
无理数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}．
19．(12分)计算：
(1)(－)2－＋； (2)×－

20．已知，互为相反数，求代数式的值．
21.（1）当时，化简：的结果是
（2）化简的结果是
22．已知是M的立方根，是的相反数，且，请你求出的平方根．

23.阅读理解
∵＜＜，即2＜＜3．
∴的整数部分为2，小数部分为﹣2，
∴1＜﹣1＜2
∴﹣1的整数部分为1．
∴﹣1的小数部分为﹣2
解决问题：已知：a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分，
求：（1）a，b的值；

（2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根．

24．(14分)(黔西南州中考)阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现在一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn.
所以a＝m2＋2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝________，b＝________；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：________＋________＝(______＋______)2；

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