1、 整除的判定和应用
一些相关数整除的判定
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：
2、各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数
3、字并加上末位数字的4倍后能被13整除
8能被17整除
逐次去掉最后一位数字并减去个位数字的5倍后能被17整除。
9能被19整除
逐次去掉最后一位数字并加上个位数字的2倍后能被19整除。
实际上判断7，11，13整除的第一条是判断1001的方法。
判断个位是7的数时候乘以3 如21 有2-1 2=0
51 5-1 5=0
判断个位是1的就好办了如果除去个位前面部分是a，就用前面部分减去个位的a倍来判定。如11 1-1=0 31 3-1 3=0
判断个位是3和9的就从这个数本身出发
如 13=1+3 4 19=1+9 2 23=2+3 7 29=2
4、9 3
下面证明7的判定方法
可以设个位为b,前面部分为a 这个多位数就是10a+b (1)
a-2b （2） （1）2+（2） 得到了21a 而21是7的倍数，所以只要a-2b是7的倍数整个数就是7的倍数。其它数的证明类似。对于7，11，13割末三位方法证明如下
设后三位为b，前面部分为a则有原数是1000a+b (1) a-b (2) （1）-（2）有1001a是1001的倍数，而7，11，13都是1001的约数，所以判断1001的方法当然可以判断它的这3个约数。对于判断7，11，13数字大的时候用割三位方便，对较小的数割个位方便，有时候两种方法交替使用
5、比较好。
判断下列数是否是质数
899，431，767
分析：如果一个数是合数必然可以写成ab形式，不妨设a不大于b
899介于29的平方与30的平方之间，如果它不是质数，必然有30以内的质因数。我们利用整除的判定发现它不是2，3，5，7，11，13，17，19，23的倍数
但899=29×31 所以899不是质数
431介于20与21的平方，我们只要检验431是否有21以内的质因数
用20以内的质数判定：3、7、11、13、17、19
综上所述４３１是质数．
再来看767介于27与28的平方
我们只要看767是否有28以内的质因数
用２8以内
6、的质数判定：3、7、11、13、17、19 ２３
计算: 76－２×７＝６２ 不能被３、7整除，不含有3、7
76－1×７＝６9 不能被11整除，不含有11
76－9×７＝13 能被13整除，含有13
故767=13×59
练习:判断下列数是否是质数3599，391，299，1681，311，142857，997如果不是质数请分解质因数
求两个数的最大公因数常用的方法有三种：1、列举法；2、分解质因数；3、短除法。但是如果求两个较大数的最大公因数显然不适合，下面介绍一种新的求最大公因数的方法
7、————“辗转相除法”求最大公因数。
用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
【提示】：正方形的边长必须是长与宽的最大公因数，由于这两个数比较大，介绍一种新的求最大公因数的方法————“辗转相除法”求最大公因数。
第一步：1072÷469，余134
第二步：469÷134，余67
第三步：134÷67，无余。
因此用边长67毫米的正方形来剪，正好可以剪
107
8、2÷67=16个---------长边
469÷67=7个-----------宽边
16×7=112个
辗转相除法的简便书写形式：
所以（1072，469）=67
试一试：用辗转相除法求568和1065的最大公因数
小结：求2个数最大公因数时候可以，首先用大数除以小数。然后在用小数除以余数，每次都用小数除以余数。最后能够整除的除数就是这2个数的最大公因数
练习求285714与999999 ；1681与11111；901与2491的最大公因数
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