圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程).doc

圆锥曲线间的三个统一
内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅
世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、四种圆锥曲线的统一定义
动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e，则当时，动点P的轨迹是椭圆：当时，动点P的轨迹是抛物线；当时，动点P的轨迹是双曲线；若，我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值（非零），则此时动点P的轨迹是圆，同时我们称e为圆锥曲线的离心率，F为焦点，L为准线。
二、四种圆锥曲线的统一方程
从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们的半通径为，则。
如图1，将椭圆按向量（）平移
得到 ∴
∵椭圆的半通径，
∴椭圆的方程可写成
类似的，如图2，将双曲线按向量平移得到
∴
∵双曲线的半通径，
∴双曲线方程可写成
对于抛物线P为半通径，离心率，它也可写成

对于圆心在（P，0），半径为P的圆，其方程为，它也可写成
于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程，其中P是曲线的半通径长，当，，时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。
三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式
在同一坐标系下，作出方程所表示的四种圆锥曲线，如图3，设P、B、A、C分别是圆的圆心，椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为的焦点F
则有
，

即方程所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为，设焦点F相应的准线为，则有。
∴准线L为，对于圆表示准线L在无限远处，设点为曲线上在y轴右侧的动点，则点M对焦点F的焦半径。
圆锥曲线的内在统一，使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来，从而更好地理解圆锥曲线的含义，更好地运用圆锥曲线解决实际问题。

圆锥曲线中的数学思想方法
内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅
在解决圆锥曲线的有关问题时，数学思想方法尤为重要，通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结，可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法，帮助我们解决问题。
思想方法一：分类讨论思想
例1. 给定抛物线设，P是抛物线上的一点，且，试求d的最小值。
解：设，则
∴
又，
∴（1）当时，，此时有

（2）当时，此时有

评注：引起分类讨论的情况有：参数的取值范围、去绝对值符号、大小关系不等式等，在讨论中要思维全面，谨慎，做到不懂不漏。
思想方法二：转化思想
例2 已知过点A（―2，―4）且斜率为1的直线L交抛物线于B、C两点，若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列，求抛物线方程。
解：直线L的方程为设B（），
由 得
∴
∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列
∴
过A作直线∥轴，设B、C在上的射影分别是，
则
∴ 即
∴
得 化简为
解得满足或（舍去）
故所求的抛物线方程为
评注：如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A、B、C三点坐标间的关系是解题的关键，本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系，从而达到转化的目的。
思想方法三：化归思想
例3 直线L：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。
（1）求实数k的取值范围。
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
解：（1）将直线L的方程代入双曲线C的方程，得
①
依题意直线L与双曲线C的右支交于不同两点
∴
2）设A、B两点的坐标分别为
则由①可得 ， ②
假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）则由FA⊥FB得
整理得： ③
把②式及代入③式化简得：
∴或（舍去）
∴使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F。
评注：解决数学问题的过程，实质就是在不断转化与化归的过程。应在解题时注意思维调控，恰当转化解题途径，使解题更加便捷。
思想方法四：数形结合思想
例4 函数的最大值是________。
分析：原式=，其几何模型是定曲线上的动点到两定点A（3，2），B（0，1）的距离之差，要求其最大值。
∴
评注：利用问题模型的几何意义，借助图形性质来解决问题，可使抽象问题具体化，复杂问题简单化。
思想方法五：函数与方程思想
例5 斜率为2的直线与等轴双曲线相交于两点，求线段中点的轨迹方程。
解：设直线方程为代入双曲线方程得
∵直线与双曲线相交于
∴
∴或
设的坐标为 ，线段中点为
则且或 ∴ 代入直线方程得：
所求轨迹方程为 （或）
思想方法六：构造思想
例6 已知满足，求的取值范围。
解：令=b，则
原问题转化为：在椭圆相切时，有最大截距与最小截距
由 消去得
由 得
∴的取值范围为[－13，13]
评注：应用构造思想解题的关键有①要有明确方向，即为何构造②要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合。
思想方法七：对称思想
例7 在直线L：上任取一点过且以椭圆的焦点为焦点作椭圆。问在何处时，所作的椭圆长轴最短，并求出其方程。
解：∵的两焦点，是关于L的对称点
又的直线方程为与联立，求得，这时的方程为
得 这时
∴椭圆方程为
评注：用对称思想解题，不仅可以利用对称的性质，沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决。
思想方法八：参数思想
例8 在椭圆上，求使取得最大值和最小值的点P的坐标。
解：将已知方程转化为
设椭圆上动点P为
∴=
∴当，即点P坐标为或时，
当，即点P坐标为（4，0）时，
评注：参数法是很重要的一种方法，特别是求最值问题、不等式问题，引入参数往往能减少变元，避免繁琐的运算。
总之，数学思想方法会有很多，并且不同的题目也会有不同的方法，在解题过程中不断地反思，总结经验，对规律性的东西加以归纳整理，在平时练习或考试中加以应用，肯定能够以简驭繁，事半功倍，使解题建立在较高水平上。
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