北邮版概率论答案(2).doc

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
【解】

故所求分布律为
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：
（1） X的分布律；
（2） X的分布函数并作图；
(3)
.
【解】

故X的分布律为
X
0
1
2
P

（2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X0)=
当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=
当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1
故X的分布函数

(3)

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

故X的分布律为
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
分布函数

4.（1） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，
试确定常数a.
【解】（1） 由分布律的性质知

故

(2) 由分布律的性质知

即 .
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
(1)

+

(2)

=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有

即
利用泊松近似

查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

故
所以 .
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，
（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
【解】（1） (2)
11.设P{X=k}=, k=0,1,2
P{Y=m}=, m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=，试求P{Y≥1}.
【解】因为，故.
而
故得
即
从而
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

得
13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
【解】

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元20000元的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.
设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

(2) P(保险公司获利不少于10000)

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Aex|, -∞) 当x<100时F（x）=0
当x≥100时

故
17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.
【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

故当x<0时F（x）=0
当0≤x≤a时
当x>a时，F（x）=1
即分布函数

18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.
【解】X~U[2,5]，即

故所求概率为

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
【解】依题意知，即其密度函数为

该顾客未等到服务而离开的概率为

,即其分布律为

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.
（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

若走第二条路，X~N（50，42），则
++
故走第二条路乘上火车的把握大些.
（2） 若X~N（40，102），则

若X~N（50，42），则

故走第一条路乘上火车的把握大些.
21.设X~N（3，22），
（1） 求P{2

(2) c=3
22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.
【解】

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200＝≥0.8，允许σ最大不超过多少？
【解】

故
24.设随机变量X分布函数为
F（x）=
（1） 求常数A，B；
（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}；
（3） 求分布密度f（x）.
【解】（1）由得
（2）

(3)
25.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.
【解】当x<0时F（x）=0
当0≤x<1时

当1≤x<2时

当x≥2时
故
26.设随机变量X的密度函数为
（1） f(x)=ae-l|x|,λ>0;
(2) f(x)=
试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.
【解】（1） 由知
故
即密度函数为
当x≤0时
当x>0时

故其分布函数

(2) 由
得 b=1
即X的密度函数为

当x≤0时F（x）=0
当0
当x≥2时F（x）=1
故其分布函数为

27.求标准正态分布的上分位点，
（1）=0.01，求;
（2）=0.003，求，.
【解】（1）
即
即
故
（2） 由得

即
查表得
由得

即
查表得
28.设随机变量X的分布律为
X
-2 -1 0 1 3
Pk
1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求Y=X2的分布律.
【解】Y可取的值为0，1，4，9

故Y的分布律为
Y
0 1 4 9
Pk
1/5 7/30 1/5 11/30
29.设P{X=k}=()k, k=1,2,…,令

求随机变量X的函数Y的分布律.
【解】

30.设X~N（0，1）.
（1） 求Y=eX的概率密度；
（2） 求Y=2X2+1的概率密度；
（3） 求Y=｜X｜的概率密度.
【解】（1） 当y≤0时，
当y>0时，

故
(2)
当y≤1时
当y>1时

故

(3)
当y≤0时
当y>0时

故

31.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1） Y=eX的分布函数及密度函数；
（2） Z=-2lnX的分布函数及密度函数.
【解】（1）
故
当时
当10时，

即分布函数

故Z的密度函数为

32.设随机变量X的密度函数为
f(x)=
试求Y=sinX的密度函数.
【解】
当y≤0时，
当033.设随机变量X的分布函数如下：

试填上(1),(2),(3)项.
【解】由知②填1。
由右连续性知，故①为0。
从而③亦为0。即

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.
【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1与A2相互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则

故抛掷次数X服从参数为的几何分布。
35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?
【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则
X~b(n,0.1)

即
得 n≥22
即随机数字序列至少要有22个数字。
36.已知
F（x）=
则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.
（A） 连续型； （B）离散型；
（C） 非连续亦非离散型.

【解】因为F（x）在（-∞,+∞）上单调不减右连续，且
,所以F（x）是一个分布函数。
但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）
37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]等于（ ）
(A) [0,π/2]; (B) [0,π];
(C) [-π/2,0]; (D) [0,].
【解】在上sinx≥0，且.故f(x)是密度函数。
在上.故f(x)不是密度函数。
在上，故f(x)不是密度函数。
在上，当时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。
故选（A）。
38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？
【解】因为

利用微积分中求极值的方法，有

得,则
又
故为极大值点且惟一。
故当时X落入区间（1，3）的概率最大。
39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.
【解】
设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

由全概率公式有

此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.
40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布.
【证】X的密度函数为

由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0
若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考)
【解】由P（X≥k）=知P（X6,则P（X数之间的关系，可知X的概率分布为
X
-1
1
3
P
0.4
0.4
0.2

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.
【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则
X~b(3,p)
由P（X≥1）=知P（X=0）=（1-p）3=
故p=
44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？
【解】

45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2
【解】

故
因此

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求
（1） 全部能出厂的概率α；
（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；
（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ.
【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则
={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}
由题意知B=∪AB，且

令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）,
故

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

故
查表知 ,即σ=12
从而X~N（72，122）
故

48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求：
（1） 该电子元件损坏的概率α;
(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β
【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，
A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。
由X~N（220，252）知

由全概率公式有

由贝叶斯公式有

49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).
【解】
因为P（1995研考)
【解】P（Y≥1）=1
当y≤1时，
当y>1时，

即
故
51.设随机变量X的密度函数为
fX(x)=,
求Y=1-的密度函数fY(y).
【解】

故
52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.
（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）
【解】（1） 当t<0时，
当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

即
即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。
（2）
53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{-1P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考)
解： 依题意 ，，则
，
.
因为，即
，
所以有 ，即.

25