安徽省六校教育研究会2011-2012学年高二数学素质测试-理.doc

安徽省六校教育研究会2012年高二素质测试
数学试卷（理）
（满分：150分，考试时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（共10小题，每小题5分，计50分）
1．已知M={x|y=x2-1}，N={y|y=x2-1}，则M∩N等于
A、N B、M C、R D、Ф
2．已知函数f (x)=，若f (x)在(-∞, +∞)上是增函数，则实数a的取值范围是
A、 B、{a|a≥2} C、 D、{a|a=2}
2
2
3．已知某棱锥的俯视图如图3，正视图与侧视图都是边长为2的等边三角形，则该棱锥的侧面积是
A、4 B、4 C、4(1+) D、8

4．若直线2tx+3y+2=0与直线x+6ty-2=0平行，则实数t等于
A、或 B、 C、 D、
5．在频率分布直方图中，小长方形的面积是
A、 B、组距×频率 C、频率 D、样本数据
6． 把一个体积为27cm3的正方体本块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现在从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为
A、 B、 C、 D、

7．已知奇函数f (x)在[-1, 0]上为单调递减函数，又A、B为锐角三角形ABC的两个内角，则
A、f (sinA)< f (cosB) B、f (sinA)> f (sinB)
C、f (cosA)> f (cosB) D、f (sinA)> f (cosB)

8．已知在平面直角坐标系数xOy上的区域D由不等式组给定。若M(x, y)为D上的动点，点A的坐标为(, 1)，则z=·的最大值为
A、3 B、4 C、3 D、4

9．在等差数列{an}中，7a5+5a9=0，且a5共5小题，每小题5分，计25分）
11．设偶函数f (x)在[0, +∞)上为减函数，且f (1)=0，则不等式的解集为　　；
i=1
WHILE i<8
i=i+2
S=2*i+3
WEND
PRINT S
END
第13题图

12．关于x的不等式ax2+2ax-4<0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是　　　　　　；

13．右图所示程序运行的结果为　　　　　　；

14．已知f (x)=2cos2x，将函数y=f (x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g (x)的图象，则g x)=　　　　　　　；

15．给出下列命题：
①已知函数f (x)=(a为常数)，且f (lglog81000)=3，则f (lglg2)=-3；
②若函数f (x)=lg(x2+ax-a)的值域是R，则a∈(-4, 0)；
C1
A
C
B
E
F
A1
B1
③关于x的方程有非负实数根，则实数a的取值范围是(1, 10)；
④如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成几何体AEF—AB1C1和B1C1—EFCB两部分，其体积分别为V1，V2，则V1:V2=7:5。
其中正确命题的序号是　　　　

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数学（理）参考答案
一、选择题(5'×10=50')
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
B
C
C
A
D
B
C

二、填空题(5'×5=25')
11）、(-∞, -1)∪(0, 1)；　12）、 (-4, 0]； 13)、21；　14）、2cos()；　15）、④。
三、解答题（本大题共6小题，计75分）
50 60 70 80 90 100

分数
0.005
0.0075
0.0225
a
0.035
16．（12分）某培训班共有名学生，现将一次某学科考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示。其中落在[80, 90)内的频数为36。[来源:Zxxk.Com]
(1)请根据图中所给数据，求出a及的值；
(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩?
(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中,随机抽取两名学生的成绩,求所取两名学生的平均分不低于70分的概率。
解：(1)第四组的频率为：1-0.05-0.075-0.225-0.35=0.3
∴a0.03， n==120 ………….4分
(2)第一组应抽：0.05×40=2个，第五组应抽：0.075×40=3个 　　 …………8分
(3)设第一组抽取的2个分数记作A1、A2，第五组的3个分数记作B1、B2、B3，那么从这两组中抽取2个的结果有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3等10种，其中平均分不低于70分有9种，所求概率为： …………12分
17．（12分）已知f (x)=|x2-1|+x2+kx。
（1）当k=2时，求方程f (x)=0解。
（2）若关于x的方程f (x)=0在上有两个不同解x1，x2，求k的取值范围，并证明：
解：（1）当时，（舍）
当时，，综上：方程根为。………4分
（2），不妨令；
∵在上为单调函数，∴=0在上最多只有一解。
若，则，矛盾；
∴；由=0得
（方法一），k关于x2递减 …………9分
（方法二）∵图象过定点（0，-1），开口向上，∴=0在（1，2）内只有一解；而（舍），故
由kx1+1=0，2x22+kx2-1=0，x1∈(0, 1)，x2∈(1, 2)，消去k得，
∴ …………12分

18．（12分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。
(1) 求证：AB1⊥平面A1BD。(2) 求三棱锥B—A1B1D的体积。
B
A
C
B1
A1
C1
D
E
解：取BC中点E，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
面ABC⊥面BCC1B1交于BC，且AE⊥BC，
∴AE⊥面BCC1B1，∴BD⊥AE，又正方形BCC1B1中，D为CC1的中点，∴BD⊥B1E，∴BD⊥面AB1E，从而BD⊥AB1，而正方形ABB1A1中A1B⊥AB1，
∴AB1⊥面A1BD。 ………7分
(2) 依题，而×2×2=2，由(1) 知AE⊥面BCC1B1，且AE=，∴=。 …………12分

19．（13分）已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为直径的圆的外部，求实数m的取值范围。
解：(1)依题 (-2)2+(-4)2-4m>0，∴ m<5
或　原方程可化为 (x-1)2+(y-2)2=5-m，∴5-m>0，∴m<5； …………4分
(2)联立，得5y2-16y+8+m=0， 由△>0，得m<　　…………6分
设M(x1, y1)、N(x2, y2)，则y1·y2=，y1+y2=，
于是x1·x2=(4-2y1)(42y2)=16-8(y1+y2) +4y1·y2， …………9分
由原点O在以MN为直径的圆的外部，得∠MON<90º，∴·>0，即
x1·x2+y1·y2>0，解得m>，∴实数m的取值范围是(, )。 ………..13分

6
用心 爱心 专心
20．（13分）在⊿ABC中，已知·=·=-1。
(1)求证：⊿ABC是等腰三角形；
(2)求AB边的长；
(3)若|+|=，求⊿ABC的面积。
解：(1)由·=·，得·(+)=0，取AB中点D，则·2=0，
∴⊥，故⊿ABC是等腰三角形； …………4分
(2)由·=·=-1，得·+·=-2，即·(-)=-2，
∴||2=2，∴AB边的长为； …………8分
(3)由|+|=，得(+)2=6，即||2+||2+2·=6，
∴2+||2+2=6，||=，∴⊿ABC是边长为的正三角形，故S⊿ABC= ……… 13分

21．（13分）在数列{an}中，a1=2，an+1=an+cn(其中c是非零常数，n=1，2，3，…)，a1，a2，a3成公比不为1的等比数列。
(1)求常数c的值；
(2)数列的前n和为Sn，求证：Sn<。
解：(1)依题 a2=2+c，a3=2+3c，∴(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2而c≠0，∴c=2； ….........4分
(2)由(1)知 an+1=an+2n，因此，当n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=
2[(n-1)+(n-2)+…+1]+2=n2-n+2，而n=1时，a1=2也满足该式，∴an=n2-n+2 (n∈N*)， ………..7分
∴ (n≥2)，
当n≤2时，不等式Sn<显然成立（∵S1=，S2=+=) ………10分
当n≥3时，Sn=+()<，
综上所述，原不等式成立。 ………13分[来源:Zxxk.Com]

概率题：把一个体积为27cm3的正方体本块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现在从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为　　　

向量与集合：设M={a|a=(2, 0)+m(0, 1)，m∈R}和N={b|b=(1, 1)+n(1, -1)，n∈R}都是以向量为元素的集合，则M∩N
A、(2, 0) B、{2, 0} C、(0, 2) D、{(2, 0)}

线性规划：已知在平面直角坐标系数xOy上的区域D由不等式组给定。若M(x, y)为D上的动点，点A的坐标为(, 1)，则z=·的最大值为
A、3 B、4 C、3 D、4

线性规划：在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得=λ+μ，则λ2+(μ-3)2的取值范围是　　　（2, +∞）

函数题，分类讨论f (x)=x2+(m-1)x+1在区间[0, 2]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围。
解析：∵判别式△=(m-1)2-4=(m+1)(m-3)，1) 若△=0，则m= -1或m=3，[来源:学,科,网]
当m=-1时，由f (x)=0，得x=1∈[0, 2]；当m=3时，由f (x)=0，得x=-1∉[0, 2]，舍去[来源:Z.xx.k.Com]
2) 若△>0，则m<-1或m>3，由f (2)·f (0)<0，得m<-；
因为f (0)=1≠0，由f (2)=0，得m= -，此时f (x)=x2-x+1，由f (x)=0，得x1=2，x2=∉[0, 2]，舍去。
综上所述，m的取值是(-∞,-)∪{-1}

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