2014届湖南省“五市十校”高三12月联合检测文科数学试卷及答案.doc

湖南省“五市十校”2014届高三12月联合检测
数学（文科）
时量：120分钟 满分：150分
命题、审校：湘乡市东山学校
答题要求：
1、 考生领到试卷和答题卡后，请认真检查有无缺印、漏印、重印等问题，如有问题，请提出更换要求。
2、 请在试卷规定的位置填写考生信息。
3、 所有答案必须填写在答题卡上，否则一律无效。
4、 严禁考生将试题卷、答题卡和草稿纸带出考室，违者试卷作无效处理。
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一 选择题（本大题共9个小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集= （ ）
A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}
2 已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3 的内角的对边分别是,若,,,则
（　　 ）
A．2 B． C． D．1
4 已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是 ( )
A． B． C． D．
5 若变量满足 则的最大值等于 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 在平面直角坐标系中,已知,,若,则实数的值为 ( )
A. 3 B.1 C. 0 D.—1
7 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四
棱锥侧面积和体积分别是 ( )

A． B． C． D．8,8

8．设函数的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
9．已知非负实数满足，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二 填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填写在题中的横线上）
10 已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为____________.
11 设为等差数列的前项和,,则=____________.
12 在区间[-3,3]上随机地取一个数x,若x满足的概率为,则__________.
13 曲线在点P(2,-3)处的切线方程为_________
14 如下图是把二进制数化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 ．
开始
i=1,S=1
?
否
输出S
是
S=1+2S
i=i+1
结束

15．对于集合的每一个非空子集，定义一个“交替和”为：按照递减的次序重新排列该子集中的元素，然后从最大数开始交替的减、加后继数。例如集合的“交替和”为，集合的“交替和”为。用表示集合的所有非空子集的“交替和”的总和，则⑴= ；⑵= 。
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16 (本小题满分12分)
已知函数为常数）．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若时，的最小值为，求的值．

17 (本小题满分12分)
为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．
0.010
0.030
0.025
0.020
0.015
年龄
15
25
55
45
65
35

组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数
占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25，35)
18
x
第3组
[35，45)
b
0.9
第4组
[45，55)
9
0.36
第5组
[55，65]
3
y

(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；
(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法
抽取6人，求第23，4组每组各抽取多少人？
(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
18 (本小题12分)
已知四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD.
(1)求证：PF⊥FD；
(2)设点G在PA上，且EG∥面PFD，试确定点G的位置．

19.(本小题满分13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.
(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项an，bn；
(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Bn，比较与2的大小；

20 （本小题满分13分）
湖南省湘潭市某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．

(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；
(2) 由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)

21．（本小题满分13分） 已知函数
（Ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，试比较与的大小关系．

2014届高三五市十校12月份联考数学试卷（文科）答案
一 选择题（每小题5分，共计45分）
1,B 2,D 3,A 4,C 5,C 6,A 7,B 8, D 9, C

二 填空题（每小题5分，共计30分）
10，(为参数) 11，
12，2 13，
14，(或i<3) 15，（1）4；（2）

三 解答题（本大题共6小题，共75分）
16 解：
(Ⅰ)
………………3分
当, 即时，函数单调递增，故所求区间为 …………6分
(Ⅲ) 当时， ，∴当时取得最小值,
即, ∴. ……………12分
17.解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知n=, ∴ a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27， …4分
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人 …8分
（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，
(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， …….…10分
∴ 所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：. …….…12分
18 证明：（1）连接AF，在矩形ABCD中，
∵AD=4,AB=2,点F是BC的中点，
∴∠AFB=∠DFC=,∠AFD=,即AF⊥FD,
又∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥FD,
又∵AF∩PA=A,FD⊥面PAF,
∵PF 面PAF,
∴PF⊥FD ………6分
（2） 过E作EH∥FD交AD于H,
则EH∥面AFD,且AH=AD,
过H作HG∥PD交PA于G,
则GH∥面PFD且AG=PA,
∴面EHG∥面PFD,
则EG∥面PFD,
从而G点满足AG=PA,
及G点的位置在PA上靠近A点处的四等分点。………12分

19.解：（Ⅰ）∵ an是Sn与2的等差中项，∴2an=Sn+2 …①
当n=1时，a1=2；n≥2时，2an-1=Sn-1+2 …② ；∴由①-②得：
∴{an}是一个以2为首项，以为公比的等比数列，∴ ……3分
又∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0即：bn+1-bn=2
又b1=1，∴{bn}是一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴ ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Bn=n2 …8分 …10分
∴==2-<2 …13分
20 解：（1）塑胶跑道面积

21．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由，解得或，
∴ 函数的定义域为 ………2分
当时，sj.fjjy.org

∴ 在定义域上是奇函数。 ………4分
（Ⅱ）由时，恒成立，
∴
∴ 在成立 ………6分
令，，由二次函数的性质可知
时函数单调递增，时函数单调递减，
时，
∴ ………8分
（Ⅲ）=…9分
证法一：构造函数，
当时，，∴在单调递减，
………12分
当（）时， …13分
证法二：构造函数,证明:在成立,则当时,成立.
·9·