山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料-第五编-平面向量、解三角形-5.4-正弦定理和余弦定理(教案)理.doc

高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第24期§5.4 正弦定理和余弦定理
基础自测
1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=，b=，B=120°,则a= .
答案
2.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=ac，则角B的值为 .
答案 或
3.下列判断中不正确的结论的序号是 .
①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解,②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解
③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解,④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解
答案 ①③④
4.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .
答案 10
5.（2008·浙江理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA= .
答案
例题精讲
例1 在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c.
解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.
由正弦定理得sinA== =,则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,
c====.
②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,
c====.
故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.
例2 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-.
（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.
解 （1）由余弦定理知：cosB=， cosC=.
将上式代入=-得: ·=-
整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB== =-
∵B为三角形的内角，∴B=.
（2）将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB
∴b2=16-2ac,∴ac=3.∴S△ABC=acsinB=.
例3 （14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.
（1）求角A的大小；（2）若a=，求bc的最大值；（3）求的值.
解 （1）∵cosA===-,又∵A∈（0°，180°），∴A=120°
（2）由a=,得b2+c2=3-bc,又∵b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），
∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.
（3）由正弦定理得：2R,∴
= =
例4 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=
（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.
解 方法一 已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］
∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正弦定理可知上式可化为： sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2得2A=2B或2A=-2B,
即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.
方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB,由正、余弦定理,可得
a2b= b2a∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0
∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.
巩固练习
1.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;
（2）△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.
解 （1）由正弦定理得.∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b==4.
(2)由正弦定理得sinC==1.又∵30°＜C＜150°,∴C=90°
∴A=180°-(B+C)=60°,a==4.
2.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.
解 依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),
即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2,化简得：tan=2.从而tanC==-.
3.（2008·辽宁理，17）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=.
（1）若△ABC的面积等于，求a、b的值；
（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
解 （1）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4.又因为△ABC的面积等于，
所以absinC=，所以ab=4.
联立方程组 解得.
（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,
当cosA=0时，A=，B=，a=，b=.
当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,
联立方程组 解得
所以△ABC的面积S=absinC=.
4.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.
解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos2B-8cosB+3=0,
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.∴cosB=.
∵0＜B＜,∴B=.∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b.
∴cosB===，化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.
又∵B=，∴△ABC是等边三角形.
方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0，∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.∴4cos2B-8cosB+3=0，
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.∴cosB=,∵0＜B＜,∴B=,
∵a,b,c成等差数列，∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.
∴sinA+sin=，∴sinA+sin-cos=.
化简得sinA+cosA=,∴sin =1.∴A+=,∴A=,
∴C=,∴△ABC为等边三角形.
回顾总结
知识
方法
思想
课后作业
一、填空题
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是 三角形.
答案 等腰
2.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则的值为 .
答案
3.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC=（b2+c2-a2），则A= .
答案 45°
4.在△ABC中，BC=2，B=，若△ABC的面积为，则tanC为 .
答案
5.在△ABC中，a2-c2+b2=ab,则C= .
答案 60°
6.△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C= .
答案 45°或135°
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=,c=,则B= .
答案
8某人向正东方向走了x千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是 .
答案 或2
二、解答题
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c).
（1）求证：A=2B；（2）若a=b,判断△ABC的形状.
（1）证明 因为a2=b(b+c)，即a2=b2+bc,所以在△ABC中，由余弦定理可得,
cosB======,所以sinA=sin2B,故A=2B.
（2）解 因为a=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b, cosB===,
所以B=30°,A=2B=60°,C=90°.所以△ABC为直角三角形.
10.（2008·全国Ⅱ理，17）在△ABC中，cosB=-，cosC=.
（1）求sinA的值；（2）△ABC的面积S△ABC=，求BC的长.
解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.
所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.
(2)由S△ABC=,得×AB×AC×sinA=.由(1)知sinA=,故AB×AC=65.
又AC==AB,故AB2=65,AB=.所以BC==.
11.已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的方程ax2-2 x-b=0 (a＞c＞b)的两根之差的平方等于4△ABC的面积S=10，c=7.
（1）求角C；（2）求a，b的值.
解 （1）设x1、x2为方程ax2-2x-b=0的两根，则x1+x2=，x1·x2=-.
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=4.∴a2+b2-c2=ab.
又cosC===,又∵C∈(0°,180°),∴C=60°.
(2)由S=absinC=10，∴ab=40. ①
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60°).∴72=(a+b)2-2×40×.
∴a+b=13.又∵a＞b ②
∴由①②，得a=8,b=5.
12.（2008·广东五校联考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，且4sin2-cos2C=.
(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.
解 （1）∵A+B+C=180°,由4sin2-cos2C=,得4cos2-cos2C=,
∴4·-(2cos2C-1)=,整理,得4cos2C-4cosC+1=0,解得cosC=,
∵0°＜C＜180°,∴C=60°.
(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab，
由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×=.

159
用心 爱心 专心