2014届北京市石景山区高三3月一模文科数学试题及答案.doc

2014年石景山区高三统一测试
数学（文科）

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，，那么（ ）
A．

B．

C．

D．

2．下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
4．双曲线的渐近线方程是，则其离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是（ ）
A．

B．

C．

D．

左视图

6．正三棱柱的左视图如右图所示，则该正三棱柱的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

否
开始

是
输出
结束

7．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，
输出的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．

8．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．是虚数单位，计算_________.
10．在等比数列中，，则数列的通项公式_____________，设，则数列的前项和_____________．
11．已知命题:，则是____________________．
12．已知变量满足约束条件则的最大值是_________.
13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时元. 当速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元. 若匀速行驶海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小.
14．若存在实常数和,使得函数和对其定义域内的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”.已知函数和函数，那么函数和函数的隔离直线方程为_________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
在△中，角的对边分别为，且，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求边的长和△的面积.

16．（本小题满分13分）
某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．
（Ⅰ）求分数在的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在之间的概率．

17.（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥，，，
平面，∥，为的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求四棱锥的体积．

18．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若在上没有零点，求实数的取值范围．

19．（本小题满分14分）
给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.
（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；
（ⅱ）求证：线段的长为定值.

20．（本小题满分13分）
对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．
已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．
Ⅰ）写出的所有可能值；
（Ⅱ）若生成数列满足的通项公式为，求.
2014年石景山区高三统一测试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
B
B
C
A
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．两空的题目，第一空2分，
第二空3分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案

；

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：Ⅰ）因为，
所以， ………………2分
因为，所以，
所以， ………………4分
因为，且，所以． ………………6分
（Ⅱ）因为，，
所以由余弦定理得，即，
………………8分
解得或（舍），
所以边的长为． ………………10分
． ………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）分数在 的频率为， ………………2分
由茎叶图知：分数在之间的频数为，所以全班人数为. ………………4分
（Ⅱ）分数在之间的频数为；
频率分布直方图中间的矩形的高为.……………7分
（Ⅲ）将 之间的个分数编号为, 之间的个分数编号为， ………………8分
在之间的试卷中任取两份的基本事件为：

共个， ………………10分
其中，至少有一个在 之间的基本事件有个，
故至少有一份分数在 之间的概率是. ……………13分
17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）取中点，连结，，
分别是，的中点，
∥，且.
∥， ………………2分
与平行且相等.
四边形为平行四边形，
∥. ………………3分
又平面，平面.
∥平面. ………………4分
（Ⅱ）为等边三角形，为的中点，
. ………………5分
又平面，平面.
， ………………6分
又，
平面. ………………7分
∥，平面， ………………8分
平面，
平面平面. ………………10分
（Ⅲ）取中点,连结.
,
.
平面，平面
，
又，
平面，
是四棱锥的高，且， ………………12分
. ………………14分
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）的定义域为. ………………1分
. ………………2分
在处取得极值，
，解得或（舍）. ………………3分
当时，，；，，
所以的值为. ………………4分
（Ⅱ）令，解得或（舍）. ………………5分
当在内变化时，的变化情况如下：

↘
极小值
↗
由上表知的单调递增区间为，单调递减区间为. ……………8分

（Ⅲ）要使在上没有零点，只需在上或，
又，只须在区间上.
（ⅰ）当时，在区间上单调递减，
，
解得 与矛盾. ………………10分
（ⅱ） 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，
解得，
所以. ………………12分
（ⅲ）当时，在区间上单调递增，，满足题意.
综上，的取值范围为. ………………13分
19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ），
椭圆方程为， ………………2分
准圆方程为. ………………3分
（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
所以由得.
因为直线与椭圆相切，
所以，解得， ………………6分
所以方程为. ………………7分
，. ………………8分
（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，
则：，
当：时，与准圆交于点，
此时为（或），显然直线垂直；
同理可证当：时，直线垂直. ………………10分
②当斜率存在时，设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为，
所以由
得 .
由化简整理得 ，
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆相切，
所以满足上述方程，
所以，即垂直. ………………12分
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且 垂直.
所以线段为准圆的直径，，
所以线段的长为定值. ………………14分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知，，，
∴，
由于，
∴可能值为． ………………5分
（Ⅱ）∵.
∴时，

.
.
时，
；
时，
；
………………13分
【注：若有其它解法，请酌情给分】

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