1、正方形性质的综合应用
正方形是同学们熟悉的图形，关于正方形的性质也是比较容易掌握的，因此正方形的性质也常在综合性问题的考查中被得以应用，这可以从近两年的中考压轴题的命题中得到启示。然而从学生的解题情况分析，虽然是熟悉的图形、熟悉的知识点，但学生的解题正确率并不理想，问题的根源在于学生对问题的分析、知识的综合应用能力以及数学思想方法的灵活运用等方面还比较薄弱，所以希望能通过以下例题及解题思路分析，以培养学生的综合应用能力。
例1 已知：正方形ABCD边长为3，点N是BC边上一个动点(不与B、C重合)，把正方形翻折使点A与点N重合，折痕为EF。
① 求证：
2、无论N如何运动，AN始终与EF相等。
② 当点N运动至CN=2NB时，求AF的长。
③ 设BN=x，AF=y时，求y与x之间的函数关系式。并写出函数定义域。
解①：过D作DM∥EF交AB于M
∵A、N关于折痕EF对称 ∴EF是线段AB的垂直平分线
又∵DM∥EF ∴DM⊥AN ∴∠2+∠3=90°
又∵ABCD是正方形 ∴∠BAC=90°=∠1+∠3 ∴∠1=∠2
又∵AB=AD ∴∠ABC=∠MAD=90°(正方形性质)
∴△DAM≌△ABN(A、S、A) ∴AN=MD
又∵AB∥CD，MD∥EF ∴四边形MFED是
3、平行四边形 ∴MD=EF
∴EF=AN 即：无论N如何运动，N始终与EF相等
②：连结FN ∵A、N关于折痕EF对称 ∴EF是AN的垂直平分线
∴AF=FN 又∵2BN=CN BC=3 ∴BN=1
设AF=X，则FN=X，BF=3X ∵∠B=90°
∴BF2+BN2=FN2 ，即(3-X)2+12=X2 ∴X= 即AF=
③：同② BF2+BN2=FN2 ∴(3-y)2+x2=y2
整理得y=(0﹤x﹤3)
说明：本题是一道以正方形图形为背景，涉及了对称、全等、勾股定理、正方形性质等众多几何知识以及运动、方程、变量
4、函数等数学思想的综合题。对于学生在动态情境中解决数学问题有一定的帮助，下面就对该问题的解题思路作一分析。
1）①中要求证相等的线段AN、EF是变化的量，它们随点N的变化而变化。因此解题的关键在于学生能否抓住问题中保持不变的关系，如本例中，无任N点如何运动，AN与EF始终垂直的关系，利用平移，将线段EF转化为Rt△ADM中的一条边DM，由于无论N点如何运动，Rt△ADM始终全等于Rt△BAN，故AN始终等于EF。
2）当N点运动至CN＝2NB的瞬间时，BN变为了一个常量，因此AF也是一个常量，一定可以计算。问题关键在于如何设计一个数学模型（图形）去解决问题，考虑到四边形ABCD是正方形以及E
5、F是AN的垂直平分线，因此可以将被求的量AF和已知量BN归结到Rt△BFN中，由于Rt△BFN中BF、NF均是未知量，所以应把BF、NF用同一个未知数表示，然后利用勾股定理建立方程，通过解方程来求出AF的长。这种解题思路是利用了数学中的方程思想，同学们应该熟练掌握并能灵活使用。
3）问题②与问题③的解题思路是一致的，只须将变量x、y或含有x、y的代数式所表示的线段归结到模型（直角三角形）中，然后利用几何知识（如问题中的勾股定理）建立等式，再用含有x的代数式表示y即可。这种解题思路是体现了方程思想、数形结合思想，是解决数学综合性问题的常用思想方法。
例2 已知，正方形OABC的面积为9，点
6、O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点P（m，n）是函数y=（k>0，x>0）的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部份的面积为S；
① 求B点坐标和K的值；
② 当S=时，求点P的坐标；
③ 写出S关于m的函数关系式
解①：据题意设B点坐标（X0，Y0）（X0﹥0，Y0﹥0）
∴S正方形OABC= X0Y0=9 又∵OABC是正方形 ∴X0=Y0=3
即B（3，3） ∵B（3，3）在反比例函数y=的图象上
∴K=3×3=9
② P（m，n）在y=上，如
7、下图（a），S矩形OEP1F=mn=9 S矩形OAGF=3n
S= S矩形OEP1F﹣S矩形OAGF ∴=9-3n ∴n= ∴m=6
∴P1（6，），同理P2（，6）
③ 如下图（b），当0﹤m﹤3时，点P坐标为（m，n），S矩形OEGC=3m
∴S=S矩形OEPF--S矩形OEGC ∴S=9—3m（0﹤m﹤3）
同理，如下图（c），当m≥3时，S=9—3n=9--
即S=9--（m≥3）
说明：这是一道体现数形结合思想的综合型数学题，所考查的内容仅是正方形和反比例函数的基本性质，但在解题过程中需要学生紧紧抓住解决问题的本质，即利用点的坐标：将点的坐标转化为线段的长度，也可以将线段的长度转化为点的坐标。如问题①中设点B的坐标，然后将其转化为正方形的边长，即可解决问题。其次问题②、③有利于培养学生的审题能力以及分类讨论思想，如题中S所表示的内容应仔细理解，否则容易造成误解。分类讨论思想能培养学生思维的严密性，是综合题中常见的题型，需要学生根据条件结合图形认真思考，否则容易造成漏解。
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
