2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第一期)专题35尺规作图.doc

尺规作图

一.选择题
1. （2015•浙江衢州,第7题3分）数学课上，老师让学生尺规作图画，使其斜边 ，一条直角边.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断是直角的依据是【 】

A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B．
【考点】尺规作图（复杂作图）；圆周角定理．
【分析】小明的作法是：①取，作的垂直平分线交于点；
②以点为圆心，长为半径画圆；
③以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；
④连接.
则即为所求.
从以上作法可知，是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角.
故选B．

2. （2015•浙江嘉兴，第9题4分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l与点Q .”分别作出了下列四个图形. 其中做法错误的是（▲）

[ww~w.
考点：作图—基本作图．.
分析：A、根据作法无法判定PQ⊥l；
B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；
C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；
D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．
解答：解根据分析可知，
选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．
故选：A．
点评：此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
3．（2015•山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）

A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

考点： 平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.
分析： 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．
解答： 解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DEDF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故选D．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
4．（2015•山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）

A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

考点： 平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.
分析： 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．
解答： 解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故选D．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．

二.填空题
1、（2015•四川自贡,第15题4分）如图，将线段放在边长为1的小正方形网格，点
点均落在格点上，请用无刻度直尺在线段上画出点
使,并保留作图痕迹.
考点：矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定.

分析：本题根据勾股定理可求出在网格中的，由于网格线中的对边平行，所以找点较容易，只需连接一对角线与的交点就满足（见图）；根据的是平行线所截得相似三角形的对应边成比例, 所以 ，则.

略解：见图作法.

2．（2015•北京市,第16题，3分）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB．

小芸的作法如下：

如图，
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB
的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点
（2）作直线CD

老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是_________________________．
【考点】点、线
【难度】容易
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两个点确定一条直线。
【点评】本题考查线段的基本概念。

三.解答题
1. （2015山东济宁，19，8分）(本题满分8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角.
实践与操作：
根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE、CF.
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明.

【答案】
试题解析：（1）

（2）猜想：四边形AECF是菱形
证明：∵AB=AC ，AM平分∠CAD
∴∠B=∠ACB，∠CAD=2∠CAM
∵∠CAD是△ABC的外角
∴∠CAD=∠B+∠ACB
∴∠CAD=2∠ACB
∴∠CAM=∠ACB
∴AF∥CE
∵EF垂直平分AC
∴OA=OC, ∠AOF=∠COE=
∴AOF≌△COE
∴AF=CE
在四边形AECF中，AF∥CE，AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AECF是菱形
考点：角平分线，线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的内外角，三角形全等，菱形的判定
2．（2015•广东省,第19题，6分）如图，已知锐角△ABC.
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

【答案】解：（1）作图如答图所示，AD为所作.

【考点】尺规作图（基本作图）
【分析】（1）①以点A为圆心画弧交BC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两交于点G；
③连接AG，即为BC边的垂线MN，交BC于点D.

3. （2015•浙江杭州,第21题10分）
“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形
（2）用直尺和圆规作出三边满足a4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即时满足a⊙P满足以线段MN为弦，且圆心P到
∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）。

【考点解剖】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，基本作图
【知识准备】角平分线上的点到角两边的距离相等，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【思路点拔】MN是⊙P的弦，那么圆心P到弦的两个端点的距离相等，所以圆心P在线段MN的垂直平分线上；
圆心P到∠AOB两边的距离相等，则P在∠AOB的角平分线上，
所以，圆心P在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点。
【解答过程】作线段MN的垂直平分线；
作∠AOB的角平分线，并记之与的交点为P；
以P为圆心，PM为半径作圆，则⊙P为所求图形。
【易错点津】无论是否要求写出作图过程，千万不要漏写结论。
在书写结论时，一定要写明哪个图形是所求作的图形，是哪一条线段？还是哪个角？或者是哪个点等，千万不要笼统地说“如图为所求图形”。
例如在本题中，所求的图形是一个圆，那么结论就应该很明确地说“⊙P为所求图形”。
【题目星级】★★★★

5. （2015•浙江省台州市，第24题）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND
和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由

6．（2015•广东梅州,第21题9分）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①以A为圆心，AB长为半径画弧；
②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

考点： 全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．
分析： （1）利用SSS定理证得结论；
（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．
解答： （1）证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）解：设BE=x，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABE=60°，
∴AE=tan60°•x=x，
∵△ABC≌△ADC，
∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，
∵∠BCA=45°，
∴∠BCA=∠DCA=90°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴CE=BE=x，
∴x+x=4，
∴x=2﹣2，
∴BE=2﹣2．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．
7．（2015•广东佛山,第18题6分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．（保留作图痕迹，不写作法）

考点：作图—应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
专题：作图题．
分析：作出底边BC的垂直平分线，交BC于点D，利用三线合一得到D为BC的中点，可得出三角形ADB与三角形ADC全等．
解答： 解：作出BC的垂直平分线，交BC于点D，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．

点评： 此题考查了作图﹣应用于设计作图，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．

8．（2015•甘肃武威,第21题6分）如图，已知在△ABC中，∠A=90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．

考点：作图—复杂作图；切线的性质．
分析： （1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P；
（2）根据角平分线的性质得到∠ABP=30°，根据三角函数可得AP=，再根据圆的面积公式即可求解．
解答： 解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．

（2）∵∠B=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°，
∵tan∠ABP=，
∴AP=，
∴S⊙P=3π．
点评：本题主要考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．同时考查了圆的面积．

9．（2015·湖北省孝感市，第20题8分）
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．
（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）
（2）若的中点到弦的距离为m，m，求所在圆的半径．（4分）

考点：作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理的应用．.
专题：作图题．
分析：（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到OC⊥AB，AD=BD=AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=（r﹣20）2+402，然后解方程即可．
解答：
解：（1）如图1，

点O为所求；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，
∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=40，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，
在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+BD2，
∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，
即所在圆的半径是50m．

点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理．

10 , (2015山东青岛，第15题,3分)已知：线段，直线外一点A．
求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥，垂足为C）斜边AB＝C．

【答案】略.
考点：作图

11 , （2015•淄博第19题,7分）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=6cm．
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交与AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．

考点： 作图—复杂作图．.
分析： （1）运用作垂直平分线的方法作图，
（2）运用垂直平分线的性质得出BD=DC，利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解．
解答： 解：（1）如图1，
（2）如图2，

∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BD=DC，
∵AB=4cm，AC=6cm．
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm．
点评： 本题主要考查了作图﹣复杂作图及垂直平分线的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法．

12. （2015•浙江丽水，第19题6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC