2015届山东省威海市高三五月中旬理科数学试题及答案.doc

高三理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知复数满足，则的虚部为
（A） （B） （C） （D）
2.已知集合，则是的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
3.设单位向量的夹角为，，则
（A） （B） （C） （D）
4.已知等差数列满足，则下列选项错误的是
（A） （B） （C）（D）
5.双曲线的顶点到其渐近线的距离为
（A） （B） （C） （D）
6.已知满足约束条件，则的最大值为
（A） （B） （C） （D）
7.周期为4的奇函数在上的解析式为，则

（A） （B） （C） （D）
8.已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是
①若∥，，则∥；②若，∥，则；③若∥，则∥；④若，∥，∥，则；
（A）②③ （B）③ （C）②④ （D）③④
9.在中，内角的对边分别是，若，的面积为，则
（A） （B） （C） （D）
10.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是
（A）在单调递增 （B）在单调递减
（C）在上有极大值 （D）在上有极小值
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．
输出

是
结束
否
开始

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行
抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型
号产品总数为1800，则该批次产品总数为________.
12.右面的程序框图输出的的值为_____________.
13.已知且，则 的
最小值为______.
14.若 ， 则_________.
15.函数的零点个数为___________.
三、解答题:本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分）已知向量，
函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为.
（Ⅰ）求函数的单调增区间；
（Ⅱ）若将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
17.（本小题满分12分）一汽车4S店新进A,B,C三类轿车,每类轿车的数量如下表:
类别
A
B
C
数量
4
3
2
同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.
（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率;
（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A,B,C三种型号的车辆数分别记为，记为的最大值，求的分布列和数学期望.
18.（本小题满分12分）已知 是各项都为正数的数列，其前 项和为 ，且为与的等差中项.
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设求的前项和.

19.（本小题满分12分）如图：是直径为的半圆，为圆心，是上一
O
F
B
C
E
D
R
Q
点，且.，且，，为的中点，
为的中点，为上一点,且.
(Ⅰ)　求证：∥平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的余弦值.

20.（本小题满分13分）已知函数.
（Ⅰ）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，求函数的极小值；
（Ⅲ）若存在实数使在区间且上有两个不同的极值点，求的最小值.
21.（本小题满分14分）如图，过原点的直线分别与轴，轴成的角，点在上运动，点在上运动，且.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设是轨迹上不同两点，且，
（ⅰ）求的取值范围；
(ⅱ)判断的面积是否为定值？若是,求出该
定值，不是请说明理由.

高三理科数学试题参考答案
一、选择题 D A D C B, D B B A B
二、填空题
11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15. ；
三、解答题
16. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
， ----------------------2分
由题意知，，， ----------------------3分
. ----------------------4分
由，
解得：, ----------------------5分的单调增区间为. ----------------------6分
（Ⅱ）由题意，若的图像向左平移个单位，得到，
再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，------8分
，， ----------------------10分
， ----------------------11分
函数的值域为. ---------------------12分
17．（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为,
----------------------4分
（Ⅱ）随机变量的取值为2，3，4. ----------------------6分
∴
∴
∴
∴其分布列为

2
3
4

----------------------10分
数学期望为 ----------------------12分
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题意知，即，① ----------------------1分
当时，由①式可得 ----------------------2分
又时,有，代入①式得
整理得． ----------------------3分
∴ 是首项为1，公差为1的等差数列. ----------------------4分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得， ----------------------5分
∵ 是各项都为正数，∴， ----------------------6分
∴（）， ----------------------7分
又,∴． ----------------------8分
（Ⅲ） ----------------------9分
当为奇数时，

当为偶数时，

∴的前项和. ----------------------12分
F
R
Q
B
C
E
D
O

M
19．（本小题满分12分）
解:(Ⅰ)连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD
∵O,Q为中点，∴OQ∥DF,且 ----------2分
∵　∴RM∥FD,　
　又,∴,∴
∵E为FD的中点，∴. ----------------------4分
∴∥,且
∴为平行四边形，∵∥
又平面, 平面,　　∴∥平面. ----------------------6分
（Ⅱ）∵,,,∴,∴,
又,∴⊥平面. ----------------------7分
以为原点，为轴建立如图空间直角坐标系
∵，∴＝30，∴在直角三角形中有
∴ ----------------------8分

∴，设平面的法向量为
∴　，令，则∴
----------------------10分
面的一个法向量为 则
∴平面与平面所成二面角的余弦值为. ----------------------12分
说明：此题也可用传统的方法求解，第一问也可用向量法证明.
20.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）,由题意可得在上恒成立；----------------------1分
∴， ----------------------2分
∵，∴， ----------------------3分

∴时函数的最小值为，
∴ ----------------------4分
(Ⅱ) 当时，
----------------------5分
令得，
解得或（舍），即 ----------------------7分
当时，，当时，
∴的极小值为 ----------------------8分
（Ⅲ）原题等价于在且上有两个不等的实数根；
由题意可知 ------------9分
即在上有两个不等实根. ----------------------10分
法一：令，
∵，根据图象可知：
，整理得 ----------------------11分
即，解得，
∴的最小值为. ----------------------13分
法二：
令， ----------------------11分
由题意可知
解得
解得，∴的最小值为. -----13分

21. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意知 ----------------------1分
∴，由得
，整理得
所以动点的轨迹的方程. ----------------------3分
（Ⅱ）设所在直线为，
当斜率不存在时，则
由，又，
---------------------5分
当斜率存在时，设方程，
联立，得 ----------------------6分

且 ----------------------7分

由

整理得 ----------------------9分

由得，
综上：. ----------------------11分
（2）由（1）知，斜率不存在时， ，--------------------12分

当斜率存在时，

将带入整理得
所以的面积为定值 . ----------------------14分

·16·