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中考代数应用题精讲精练

【重点、难点、考点】
重点：会应用方程、不等式、函数及有关代数知识解决此类应用题。
难点：会将实际问题转化为代数问题。
考点：运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力是重点考查的对象，此类问题在选择题、填空题、解答题中均有出现，在各地中考试卷中的题量有逐年增加的趋势，有的达12题之多。分值一般在10％一20％之间。
【经典范例引路】
例1 甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不同），甲每次购买粮食100kg，乙每次购买粮食用去100元，设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元／kg，第二次单价为y元／kg．
（1）用含x，y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买粮食 kg，若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q1元，乙两次购买粮食的平均单价为Q2元，则Q1＝ ，Q2＝ ．
（2）若规定谁两次购买粮食的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．
解：(1)100x+100y, +,Q1=,Q2=
（2）Q1-Q2=-=,又x≠y>0
∴＞0，∴Q1-Q2＞0，即Q1＞Q2
故乙的购粮方式更合算
例2 某公司试销一种成本单价为 500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）近似于一次函数y＝kx+b的关系，如图

（1）根据图象，求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）设公司获得毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元，①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？（1999，南通市）
解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y=kx+b，得：
解得：∴y= -x+1000(500≤x≤800)
（2）①S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)
＝ -x2+1500x-500000（500≤x≤800）
②由①得：S＝ -x2+150x+500000= -(x-750)2+62500,又500<750<800,
∴当x=750时， S最大，最大值为 62500此时，y＝ -x+1000= -750+100=250故当销售单价定为750元时，该公司获得最大毛利润是62500元，此时的销售量是250件。

【解题技巧点拨】
此类问题，一般均是要求设计最佳方案，解答时要充分地对问题的原始形式背景进行分析、联想、抽象、概括。利用问题中的数量及其关系，构建相应的数学模型（如方程、不等式、函数等），进而用相关的数学知识求出最佳途径，并把求得的结果进行实际检验．

【综合能力训练】
1.有一批货物成本a万元，如果在本年年初出售，可获利10万元，然后将本、利都存入银行，年利率2％；如果在下一年年初出售，可获利12万元，但要付0.8万元货物保管费，试问，这批货物在本年年初出售合算，还是在下一年年初出售合算（本题计算不考虑利息税）？（2001，扬州市）

2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为 R＝500+30x，P＝170-2x.
（1）当日产量为多少时每日获得的利润为1750元；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？（2001，厦门市）

3.某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件 A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润 700元；生产一件B种产品，需用甲种原料5kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品获总利润为y（元），其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？

4. 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）．在跳某个规定动作时，正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离3米，问此次试跳会不会失误？并通过计算说明理由．

5.如图，一位运动员在篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平跑离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05米
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）该运动员身高1．8米，在这次跳投中，球在头顶上方0．25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

6．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米／时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米，查有关资料知，甲种车的刹车距离S甲（米）与车速x（千米／时）之间有下列关系：S甲=0.1x+0.01x2；乙种车的刹车距离S乙（米）与车速x（千米／时）的关系如图所示：请你就两车的速度方面分析相碰的原因．

7．2000年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出A型农用车，其成本价为每辆2万元，出厂价为每辆2．4万元，年销售量为10000辆，2001年为了支援“西部大开发”的生态农业建设，该厂抓住机遇，发展企业，全面提高A型农用车的科技含量，每辆农用车的成本价增长率为x．出厂价增长率为0．75x，预测年销售量增长率为0.6x（1）求2001年度该厂销售A型农用车的年利润y(万元)与x之间的函数关系式（2）该厂要使2001年度销售A型农用车的利润达到4028万元，则该年度A型农用车的年销售量应该是多少辆？（2001，十堰市）

8．一次时装表演预算时票价定为每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x(百人)之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司缴纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）．请解答下列问题：（1）求当观众人数不超过1000人时，毛利润y关于观众人数x的函数解析式和成本费用S（百元）关于观众人数x的函数解析式；（2）若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么需售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入-成本费用；当观众人数超过1000人时，毛利润=门票收入-成本费用-平安保险费）（2001，宁波市）

9．一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从五月一日起的50天内，它的市场售价y1与上市时间x的关系可用图（1）的一条线段来表示；它的种植成本y2与上市时间的关系可用图2）中抛物线的一部分来表示.（1）分别求出图（1）、（2）中y1、y2与x的函数关系式；（2）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问①哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔钱也不赚钱？③哪天上市的这种绿色蔬菜纯利润最大？最大利润是多少？（售价与成本单位：元／千克，时间单位：天）（2001，黄石市）

10．南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：这批水果在运输（包括装御）过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．（1）如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出W1、W2、W3与x间的函数关系式；（2）应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小？（2001，黄冈市）
运输工具
途中速度
（千米/时）
途中费用
（元/千米）
装卸费用
（元）
装卸时间
（小时）
飞机
200
16
1000
2
火车
100
4
2000
4
汽车
50
8
1000
2

11．某水库的水位已超过警戒线的水量为P立方米，由于上游连续暴雨，河水仍以每小时Q立方米的流量流入水库，为了保护大坝安全，需打开泄洪闸，已知每孔泄洪闸每小时泄水量为R立方米，经测算，若打开2孔泄洪闸，30小时可将水位降到警戒线，若打开3孔泄洪闸，12小时可将水位降到警戒线，(1)试用R的代数式分别表示P、Q;（2）现要求在4小时内将水位降到警戒线以下，问至少需打开几孔泄洪闸？（2001，咸宁市）

【创新备考训练】
12．某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程，开始时风速平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米／时，一段时间，风速保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1千米／时，最终停止，结合风速与时间的图象，回答下列问题：（1）在y轴（ ）内填入相应的数值；（2）沙尘暴从发生到结束？共经过多少小时？（3）求出当x≤25时，风速y(千米/时)与时间x（小时）之间的函数关系式．（2002，黑龙江省）

13．通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成，以前我市通过“黄冈热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元／3分钟，上网费为7．2元/小时，后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上“因特网”的费用调整为电话费0．2元／3分钟，上网费为每月不超过60小时，按4元／小时计算；超过60小时部分，按8元/小时计算；（1）根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y（元）表示为上网时间x（小时）的函数；（2）资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔每月70小时的上网费用支出，“因特网”资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？（2）从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况．（2002，黄冈市）

14．天冀牌摩托车有限公司计划出售“安全牌”控速摩托车和“超前牌”多功能三轮车，公司根据实际情况和市场需要得到有关数据如下表：问如何确定两种货物的月供应量，可以使得总利润达到最大？最大利润是多少？
资金（千元）
摩托车资金
三轮车资金
月资金供应量
单位进价
30
20
3000
工资支出
5
10
1100
单位利润
6
8

15．某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩电的进价每台分别为2000元、1600元，一月份A、B两种彩电的销售价每台为2700元、2100元，月利润为1.2万元（利润=销售价-进价）．
为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略；
策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长30％、40％；
策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长50％．
请你研究以下问题：
（1）若设一月份A、B两种彩电销售量分别为x台、y台，写出y与x的关系式，并求出A种彩电销售的台数最多可能是多少？
（2）二月份这两种策略是否能增加利润？
（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，才能使该商店所获得的利润较多，请说明理由．

参考答案
【综合能力训练】
1.a＞50,本年初出售较好，a＜50，下年初出售较好 2．（1）25 （2）35，1950 3．1）30，31，32对应B．20，19，18 (2)y= -500x+60000,x=30时，最大值为45000. 4.（1）y=-x2+x (2)会失误 5.(1)y=-0.2x2+3.5 (2)0.20米 6．x甲＝30，40＜x乙＜48 乙车超速导致两车相碰． 7．（1）y＝ -1200x2+400x+4000（2）10600辆或11400辆 8．（1）y=50x-100，S=50x+100 （2）920张或1020张，需支付成本费为56000元或61000元． 9．(1)y1= -x+5.1,y2=x2-x+(0≤x≤50) (2)①y1-y2=0得x=9或x=35 ②第22天，为1.69元/千克 10.(1)w1=17x+1400,w2=6x+2800,
w3=12x+1400 (2)当0＜x≤时，W2＞W1＞W3,当＜x＜, W1＞W2＞W3,当x≥时，W1＞W3≥W2 11.(1)P=20R,Q=R (2)7 12.(1)8,32 （2）57 (3)y＝-x+57 25≤x≤57 13.(1)y= （2）80.32小时 （3）当x＜150小时，调整后所需费用少，当X＝150时，费用相同，当x＞150，调整前所需费用少 14．设摩托车的月供应量为x，三轮车为y,则又6x+8y=(30x+20y)+（5x+10y）≤×3000+×1100=960 ∴当x=40，y=90时，最大利润为960（千元） 15.（1）y=x+24 x最大取15 (2)W1=780x+588y,W2=825x+630y W2>W1>700x+500y,故均能增加利润 （3）选择策略二

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