1、第二讲 几何之平行和垂直
【知识要点】
一.证明两直线互相平行常用的定理
① 利用角：同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。
② 利用第三线：都平行或都垂直于第三线的两直线平行。
③ 利用比例式： △ABC中，如果 那么DE∥BC
④ 其他 三角形中位线平行于第三边
梯形中位线平行于两底
平行四边形对边平行
二.证明两直线互相垂直常用的定理
1. 按垂直定义 即证明两直线相交所成的四个角中，有一个是直角。
直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，
2、平行线的同旁内角，三角形内角和。
2. 在三角形中证明直角
① 如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。
② 若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。
③ 若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。
④ 等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。
⑤ 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。
3. 菱形对角线互相垂直
【例题讲解】
A
B
C
D
E
N
M
例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。
已知：△ABC中，BD，CE是角平分线，AM⊥BD，AN⊥CE
求证：M
3、N∥BC
例2.已知：AD是Rt△ABC斜边上的高，角平分线BE交AD于F，
EG⊥BC交BC于G
求证：FG∥AC，AG⊥BE
B
A
C
D
N
M
E
例3.已知：如图AD是等腰直角△ABC斜边上高BM，BN三等分∠ABC，CM延长线交AB于E
求证：EN∥BM
例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是
4、等边三角形，
AE交BD于M，CD交BE于N
求证：MN∥AC
例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PE⊥AB
A
B
C
D
P
E
F
作PF⊥BC
求证：PD⊥EF
例6、已知：如图，在正方形中，于点.求证：.
【练习提高】
一、填空题
1、如图，D是等边三角形ABC内的一点，且DB=DA，P为三角形外一点，且BP=BA ， ∠DBP=∠DBC，则∠BPD=
5、
2、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC， D为AC中点， AE⊥BD交BC于E，连ED，设∠BDE= ，则∠ADB=
二、解答题
3、四边形ABCD中，∠A＝∠B，AD＝BC，则AB∥CD
4、正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且BE＝BF
则AE⊥CF
5、已知：平行四边形ABCD的AB＝2BC，E，F分别在BC和CB的延长线上且CE＝BF＝BC 求证：AE⊥DF
6、分别以△ABC的边AB和BC为一边，向形外作两个正方形ABEF和BCGH，求证 ：AH＝CE，A
6、H⊥CE
7、已知：D，E，F是△ABC边BC，CA，AB的中点，H，G在形外，且HE⊥AC，HE＝AC，GD⊥BC，GD＝BC
求证：△FDG≌△HEF FG⊥FH
8、已知：在平行四边形ABCD中，
∠A和∠B的平分线交于E，
∠C和∠D的平分线相交于F
求证：EF∥BC
9、如图，已知在△ABC中，AD为∠BAC内部的一条射线，BE⊥AE，CF⊥AE，M是BC的中点
求证：EM=FM
10、已知四边形ABCD中 ，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，
证明：BC+DC=AC
11、已知：如图，在中，，为上一点，使得，为上一点，使得，连结交于.
求：的度数.
12、如图，正方形中，E、F为的上点且
，求证：
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