等差及等比数列习题及答案.doc

等差与等比数列1数列1，3，7，15，的通项公式an 等于（ ）（A）2n （B）2n1 （C）2n1 （D）2n1【提示】排除法由已知，各项均为奇数所以（A）、（D）不正确对于（B），由于n1时，2113所以（B）也不正确也可以直接归纳出2n1【答案】（C）2已知等差数列的公差为d，它的前n 项和Snn2，那么（ ）（A）an2 n1，d2 （B）an2 n1，d2（C）an2 n1，d2 （D）an2 n1，d2【提示】由Snn2 知，a1S11，a2S2a13，从而d2，且ana1（n1）d1（n1）（2）2 n1【答案】（C）3在a 和b（a b）两数之间插入n 个数，使它们与a、b 组成等差数列，则该数列的公差为（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】ba（n2）1d 【答案】（B）4数列an中，an2 n100，当前n 项和Sn 达到最大值时，n 等于（ ）（A）49 （B）50 （C）51 （D）49或50【提示】令an2 n1000，得n50即a49 以前各项均为正数，a500，故S49 或S50 最大【答案】（D）5等比数列an的首项a11，前n 项和为Sn，若，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】由已知可求得q【答案】（A）6等差数列an中，a10，S5S11，则第一个使an 0的项是（ ）（A）a7 （B）a8 （C）a9 （D）a10【提示】由S5S11 得2 a115 d0，又a10，所以d 0而2 an2 a12（n1）d（2 n17）d 0，所以2 n170即n8.5【答案】（C）7已知数列an中，a3，a10 是方程x23 x50的两根，若an是等差数列，则a5a8_；若an是等比数列，则a6a7_【提示】a3a103，a3a105再利用已知与所求中的关系可求【答案】a5a8a3a103；a6a7a3a1058在等比数列an中，若其中三项a1、a2、a4 又成等差数列，则公比是_【提示】由已知，得2（a1q）a1a1q3 即q32 q10【答案】1或9等差数列an的公差d0已知S651，a2a552则S7_【提示】列出a1 和d 的方程组，求a1 和d 进而求S7 或由S63（a2a5）51，得方程组，求出a2，a5，进而求S7 【答案】7010已知等差数列an的公差d 0，且a1、a3、a9 成等比数列，则_【提示】由已知推出a1d（d 0），并代入所求式中，消去d 即可【答案】11已知数列的通项公式an=3n50，则当n=_时，Sn的值最小，Sn的最小值是_。 (答案：16，392)12.在等差数列中已知a1=12, a6=27,则d=_13.在等差数列中已知，a7=8，则a1=_14.数列的前n项和，则_15.若成等差数列，则x的值等于（ ） A.0 B. C. 32 D.0或32 16.在等差数列中，则的值为（ ）A.84 B.72 C.60 . D.4817. 在等差数列中，前15项的和 ，为（ ）A.6 B.3 C.12 D.4 18.在等差数列中,若，则的值等于（ ）A.45 B.75 C.180 D.30019已知数列an的通项公式an，则它的前8项和S8 等于（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】an（），Sn（1）【答案】（D）20.已知an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a6=25，那么a3a5的值等于 （ ）A5B10C15D2021.已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则 （ ）A1BCD22.数列an中，已知S1 =1， S2=2 ，且Sn13Sn 2Sn1 =0(nN*)，则此数列为（ ）A等差数列 B等比数列 C从第二项起为等差数列 D从第二项起为等比数列23.等比数列前项和为54，前项和为60，则前项和为 （ ）A66 B64 C D24.数列an的通项公式是a n =(nN*)，若前n项的和为10，则项数为（ ） A11 B99 C120 D12125.数列的前项的和Sn =3n2 n1，则此数列的通项公式a n=_ 16、，与同为奇数或偶数26已知，则这个数列的前n项和_.(答案：)27.已知数列是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列前n项和的公式 解析：设数列公差为，则 又所以()解：令则由得 当时，式减去式，得 所以当时， ，综上可得当时， 当时，28.求下面各数列的和：（1）；（2） (1)(本题用到的方法称为“裂项法”，把通项公式化为an=f(n1)f(n)的形式)(2)通项呈“等差等比”的形式，29.数列an满足a1=1，an=an11(n2)（1）若bn=an2，求证bn为等比数列；（2）求an的通项公式 解析： (1)由an=an11得an2= (an12)即，(n2)bn为以1为首项，公比为的等比数列(2)bn=(1)( )n1，即an2=()n1an=2()n130.等比数列an中，a4=4,则a2a6等于（ ）A.4B.8C.16D.32答案:C31.在等比数列an中，a28，a564，则公比q为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）8答案:A32.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则=（ ）A84 B72 C33 D189答案:A33. 已知数列满足，（），则当时，（ ）（A）2n （B） （C） （D） 答案d34. 在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于 ( )(A) (B) (C) (D)答案:c35.若数列满足：，2，3.则.答案: ；36设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .答案:；37.已知为等比数列，求的通项式。解: 设等比数列an的公比为q, 则q0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3, 当q=时, a1=18.所以 an=18()n1= = 233n. 当q=3时, a1= , 所以an=3n1=23n3.38. 已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列； （）数列的前项和解：（） ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即，设， 则，由得 ，又数列的前项和 39. 已知为等比数列前项和，求 【解题思路】可以先求出，再根据的形式特点求解.【解析】，即40. 已知为等比数列，求的值.【解析】设等比数列的公比为，；41. .已知是等比数列，则=（ ） 【解析】C，42. 在等比数列an中，S41，S83，则a17a18a19a20的值是（ ）A、14 B、16 C、18 D、20答案:B43. 8、在正项等比数列中，则_。答案:544、在等比数列的前n项和中，最小，且，前n项和，求n和公比q解析：因为为等比数列，所以依题意知 45、设数列an的前项的和Sn=（an-1） (n+),（1）求a1;a2; (2)求证数列an为等比数列。解: ()由,得 又,即,得. ()当n1时, 得所以是首项,公比为的等比数列.46、在等比数列中，则 =（ ）A. 81 B. 27 C. D. 243答案:A47、等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A B C D答案:B48、在等比数列中，已知则该数列前15项的和S15= .答案:111. 原式= 49.已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 . 【解析】 已知两式相减，得 50.设数列中，则通项 . 【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳猜想证明的方法. 51.已知等差数列中，.求数列的通项公式；若数列满足，设，且，求的值.【解析】设数列的公差为，则，令，得当时，52.已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；求的值；求数列的前项和【解析】等差数列中，公差，令当时，；当时，.当时，取得最大值；数列是等差数列；由得，当时，；当时，. 53.等差数列an前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有（ ）A.9项 B.12项 C.10项 D.13项【答案】C【解析】a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=72.a1+an=28.又=140,故n=10.54.在等差数列an中,-1,若它的前n项和Sn有最大值,则下列各数中是Sn的最小正数值的是( )A.S1 B.S38 C.S39 D.S40【答案】C【解析】因Sn有最大值,故d0,又0.因a21a20,故a200,a20+a210.S40=20(a1+a40)=20(a20+a21)0.S39=39a200,S39-S38=a390.又S39-S1=a2+a3+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)0,故选C.55.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和方法,求f()+f()+f()的值为_.【答案】5【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=1.设S=f()+f()+f(),倒序相加有2S=f()+f()+f()+f()+f()+f()=10.即S=5.56.an是等差数列，公差d0，Sn是an的前n项和，已知a2a3=40,S4=26.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn=，求数列bn的所有项之和T.【解析】（1）S4=(a1+a4)=2(a2+a3)=26.又a2a3=40,d0，a2=5,a3=8,d=3.an=a2+(n-2)d=3n-1.(2)bn=Tn=.56.设an是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有an=2-2.(1)写出数列an的三项;(2)求数列an的通项公式,并写出推证过程;(3)令bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由题意，当n=1时，有a1=2-2,S1=a1，a1=2-2,解得a1=2.当n=2时，有a2=2-2,S2=a1+a2,将a1=2代入，整理得（a2-2）2=16,由a20，解得a2=6.当n=3时，有a3=2-2,S3=a1+a2+a3,将a1=2,a2=6代入，整理得（a3-2）2=64,由a30，解得a3=10.所以该数列的前三项分别为2，6，10.(2)由an=2-2(nN*),整理得Sn=(an+2)2,则Sn+1=(an+1+2)2,an+1=Sn+1-Sn=(an+1+2)2-(an+2)2.整理，得（an+1+an）(an+1-an-4)=0,由题意知an+1+an0,an+1-an=4.即数列an为等差数列，其中首项a1=2，公差d=4,an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).即通项公式为an=4n-2(nN*).(3)bn=,Tn=b1+b2+bn=.57.已知为等差数列的前项和，.求； 求；求.【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.【解析】4.，当时，当时，当时， .由，得，当时，；当时，.； ；当时， 当时， 58.已知为等差数列的前项和，则 ； 已知为等差数列的前项和，则 .【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【解析】；方法1：令，则.，；方法2：不妨设 .，；方法3：是等差数列，为等差数列三点共线.59.已知为等差数列，是等差数列的前项和，则使得达到最大值的是（ ） A.21 B.20 C.19 D.18答案:B60.已知数列中，数列满足；（1） 求证：数列是等差数列；（2） 求数列中的最大值和最小值，并说明理由(1),而,；故数列是首项为，公差为1的等差数列；（2）由（1）得，则；设函数，函数在和上均为减函数，当时，；当时，；且，当趋向于时，接近1，61. 在数列中，（1）设证明是等差数列;（2）求数列的前项和。（1）由已知得，又是首项为1，公差为1的等差数列；（2）由（1）知两式相减得62. 等差数列中，（ ）A24B22C20D-8答案:A63. （本小题满分12分）设数列的前项和为。（I）求证：是等差数列；（）设是数列的前项和，求；解析：（I）依题意，故 当时， -得：故为等比数列，且，即是等差数列（）由（I）知， 64.已知等差数列an,a1=29,S10=S20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值。65.求和：原式= 66.设等比数列前项和为，若，求数列的公比解：显然，若则而与矛盾由而，22