1、专题五 函数与图象
⊙热点一：函数图象与性质
1．(2015年广东广州)已知反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
(2)如图Z511，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．
图Z511
⊙热点二：函数解析式求法
2．(2015年广东佛山)若正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点坐标是(－2,4)．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)求这两个函数图象的另一个
2、交点坐标．
⊙热点三：代数几何综合题
3．(2015年广东深圳)如图Z512，关于x的二次函数y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3,0)，点C(0,3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；
(3)如图Z513，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC＝3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．
图Z512
3、图Z513
⊙热点四：函数探索开放题
4．(2014年广东广州)已知平面直角坐标系中两定点A(－1,0)，B(4,0)，抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)过点A，B，顶点为C，点P(m，n)(n＜0)为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
(3)若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t(0＜t＜)个单位，点C，P平移后对应的点分别记为C′，P′，是否存在t，使得首尾依次连接A，B，P′，C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物
4、线平移的方向；若不存在，请说明理由．
专题五 函数与图象
【提升·专项训练】
1．解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m－7＞0，则m＞7；
(2)∵点B与点A关于x轴对称，设AB与x轴交点为C，若△OAB的面积为6，
∴△OAC的面积为3.
设A，则x·＝3，解得m＝13.
2．解：(1)由正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象有一个交点坐标是(－2,4)，得4＝－2k1,4＝.
解得k1＝－2，k2＝－8.
正比例函数y＝－2x；反比例函数y＝－.
(2)联立正比例函
5、数与反比例函数，得
解得
这两个函数图象的另一个交点坐标(2，－4)．
3．解：(1)∵二次函数y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3,0)，点C(0,3)，
∴解得
∴抛物线的解析式y＝－x2－2x＋3.
(2)存在，当P在∠DAB的平分线上时，如图D107，作PM⊥AD，
图D107 图D108 图D108
设P(－1，m)，则PM＝PD·sin∠ADE＝(4－m)，
PE＝m，
∵PN＝PE，∴(4－m)＝m，m＝－1.
∴P点坐标为(－1，－1)．
6、当P在∠DAB的外角平分线上时，如图D108，作PN⊥AD，
设P(－1，n)，则PN＝PD·sin∠ADE＝(4－n)，
PE＝－n，
∵PN＝PE，∴(4－n)＝－n，n＝－－1.
∴P点坐标为(－1，－－1)．
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为(－1，－1)或(－1，－－1)．
(3)∵S△EBC＝3,2S△FBC＝3S△EBC，∴S△FBC＝.
过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，如图D109，
∵S△FBC＝FQ·OB＝FQ＝，∴FQ＝9.
∵BC的解析式为y＝－3x＋3，
设F(x0，－x－2x0＋3)，
∴－3x0＋3＋x＋2x0－3＝9.
解得x0
7、＝或(舍去)．
∴点F的坐标是(，)．
4．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)过点A，B，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
∵y＝x2－x－2＝2－，∴C(，－)．
(2)如图D110，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使∠APB为钝角，
∴M，⊙M的半径＝.
∵P′是抛物线与y轴的交点，∴OP′＝2.
∴MP′＝＝.
∴P′在⊙M上．
∴P′的对称点(3，－2)．
∴当－1＜m＜0或3＜m＜4时，∠APB为钝角．
图D110 图D111
(3)存在．
抛物线向左或向右平移，因为A
8、B，P′C′是定值，所以A，B，P′，C′所构成的多边形的周长最短，只要AC′＋BP′最小；
第一种情况：抛物线向右平移，AC′＋BP′＞AC＋BP，
第二种情况：向左平移，如图D111，由(2)可知P(3，－2)，
又∵C，∴C′，P′(3－t，－2)．
∵AB＝5，∴P″(－2－t，－2)．
要使AC′＋BP′最短，只要AC′＋AP″最短即可，点C′关于x轴的对称点C″，
设直线P″C″的解析式为y＝kx＋b，代入P″，C″的坐标可得
解得
∴直线y＝x＋t＋.
当P″，A，C″在一条直线上时，周长最小，
∴－＋t＋＝0.∴t＝.
故将抛物线向左平移个单位连接A，B，P′，C′所构成的多边形的周长最短．
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