指数保费准则下存在模糊厌恶的最优分红策略.pdf

Optimal dividend strategy with ambiguity aversion under exponentialpremium principleCUI Can，WANG Wei（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）Abstract：On the basis of the classical risk model，dividend model is considered under exponential premium principle，andthe optimal dividend is studied when the model has ambiguity.Assuming that the dividend strategy is a barrier strategy and onlyrelated to the surplus process，the diffusion model is used to approximate the classical risk model，and the Hamilton-Jacobi-Bellman equation is obtained by using the principle of dynamic programming.Then the value function and the optimal dividendboundary are obtained when the model has ambiguity.The influences of ambiguity aversion coefficient and risk aversioncoefficienton the optimaldividend boundary are given through a numericalexample.Keywords：exponentialpremium principle；diffusion model；ambiguity aversion；HJB equation；optimaldividend strategy指数保费准则下存在模糊厌恶的最优分红策略崔璨，王伟（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）摘要：在经典风险模型的基础上，考虑指数保费准则下的分红模型，研究当模型存在模糊性时的最优分红问题.假设分红策略是一个壁垒策略，且仅与盈余过程有关，利用扩散模型逼近经典风险模型，并利用动态规划原理得到了 Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，进而得到模型存在模糊性时的值函数表达式及最优分红边界.通过数值算例给出模糊厌恶系数和风险厌恶系数对最优分红边界的影响.关键词：指数保费准则；扩散模型；模糊厌恶；HJB 方程；最优分红策略中图分类号：O211.67文献标志码：A文章编号：1671-1114（2023）03-0008-04收稿日期：2022-01-01基金项目：国家自然科学基金资助项目（11401436）；天津市高等学校科技发展计划资助项目（JW1714）.第一作者：崔璨（1996），女，硕士研究生.通信作者：王伟（1982），男，副教授，主要从事随机过程及其应用方面的研究.E-mail：.近年来，保险精算领域中关于分红问题的研究得到了广泛的关注，相关研究在模型中加入了注资、分红等更加贴近现实的因素.从公司投资者的角度看，将公司的价值定义为破产前累计分红现值的期望值更加贴近现实，这是因为以此为目标所得到的策略能够使公司投资者得到最大化收益.文献1首次提出了最优分红问题，并提出基于壁垒策略进行分红，且以最大化破产前分红现值的期望值定义保险公司的价值.壁垒策略考虑当公司盈余超过某一水平时，将超过这一水平的部分全部进行分红.此后，很多研究均以此模型为基础构建分红模型.文献2在限制红利密度的基础上研究一类最优分红注资问题.文献3在混合指数索赔分布的基础上，考虑存在破产概率限制时的最大化破产前分红现值的期望值问题.文献4同时考虑再保险和分红 2 种情况，在指数保费准则下定义了廉价和非廉价再保险 2 种保险形式，以及有边界分红利率和无边界分红利率，并求得了对应问题的最优再保险分红策略.文献5在模型中加入了注资因素，考虑以最大化破产前分红现值与注资现值之差的期望值为目标，且进行注资和分红时需要同时消耗比例交易费和固定交易费，研究最优分红、投资和再保险策略，得到了值函数的解.文献6在文献4的基础上，假设同时存在 2 家再保险公司，研究扩散模型框架下的最优再保险策略，得到了存在固定交易费的最优分红策略.文献7研究在分红模型存在模糊性的情况下的最优分红问题，利用动态规划原理以及 It觝 引理得到 HJB 方程，最后得到了最优分红边界及值函数.文献8研究存在固定交易费时的最优分红再保险策略，第 43 卷第 3 期2023 年 5 月天 津 师 范 大 学 学 报（自 然 科 学 版）Journal of Tianjin Normal University（Natural Science Edition）Vol.43 No.3May 2023doi：10.19638/j.issn1671-1114.20230302第 43 卷第 3 期考虑不同的固定交易费对最优分红、再保险策略的影响，得到了固定交易费的阈值.文献9研究了一类在有限时间范围内允许注资的最优分红问题.文献10研究了当分红时间间隔服从 Erlang（2）分布时的最优周期性分红策略.文献11考虑在 Cramr-Lundberg 模型和对偶模型下的最优分红边界，并利用数值算例对2 种模型的破产罚金进行了比较.本文基于经典风险模型，考虑保险公司的保费遵循非线性性质的指数保费准则，且分红模型存在模糊性，研究其最优分红问题.利用扩散逼近和动态规划原理得到了分红模型的 HJB 方程，通过求解方程得到了存在模糊厌恶的最优分红边界及对应的值函数.最后通过数值算例分析了模糊厌恶系数和风险厌恶系数对最优分红边界的影响.1模型描述设（，F，Ftt0，P）为完备的概率空间，盈余过程 X（t）用经典的 Cramr-Lundberg 模型描述，即X（t）=m+C（t）-N（t）i=1移Yi式中：m 0 为初始盈余；N（t），t0为截止 t 时刻的累计索赔量，是一个强度为 的齐次 Poisson 过程；Yi，i1为相互独立同分布且取值为正的随机变量，代表索赔额；N（t），t0和Yi，i1相互独立；C（t）为截止 t 时刻的累计保费收入.E（Yi）=和 E（Yi2）=2分别为索赔额的一阶矩和二阶矩.假设保险公司基于指数保费准则收取保费，即a（Y）=1alnE（eaY）其中 a 0 为保险公司的风险厌恶系数.使用扩散模型逼近经典 Cramr-Lundberg 模型来表示保险公司的盈余过程 Xt，即dXt=乙?a（MY（a）-1）-乙?dt+姨dBt（1）式中：Bt，0tT为定义在概率测度 P 下的标准Brown运动，MY（a）=EeaY为随机变量 Y 的矩母函数.保险公司进行分红的财富过程表示为dmt=dXt-dDt（2）式中：mt为 t 时刻保险公司的储备金；Dt为截止 t 时刻保险公司支出的总分红额.在分红策略 下，保险公司的累计分红的期望折现为V（m）=E0乙e-rtdDt?式中：=inft0，mt=0为破产时间；r 为贴现率；V（m）为目标函数，A，A 为可采纳策略的集合.为找到最优分红策略，对保险公司的值函数定义如下V（m）=supAV（m）（3）且存在最优分红策略*A，使得 V（m）=V*（m）.为求得上述问题的最优解，需要在概率测度 P 上建立的参考模型足够精确，但参考模型需要利用各种渠道获得的信息来建立，因此保险公司不能保证参考模型足够精确，参考模型具有模糊性.为了规避参考模型与现实情况的偏差所带来的风险，需要寻找其他的替代模型求解问题，若保险公司不信任参考模型的概率测度 P，且为了减少模型模糊性的影响而选择概率测度 Q 建立替代模型，替代的概率测度集合表示为Q=Q|Q P.由 Girsanov 定理可知dQdP（B0，t）=t，其中t=exp乙乙t0乙u（s）dB（s）-12t0乙u2（s）ds乙乙特别地，有 0=1，在概率测度 Q 下，有dBtQ=dBt-utdt（4）式中：BtQ，t0为概率测度 Q 下的标准 Brown 运动；ut为一个实值过程，且坌t 0，有t0乙us2ds 0 为模糊厌恶系数.越大，表示保险公司对替代模型 Q 的信任程度越低.崔璨，等：指数保费准则下存在模糊厌恶的最优分红策略9天 津 师 范 大 学 学 报（自 然 科 学 版）2023 年 5 月假设保险公司在日常运营过程中无外部注资，并且需要定期向股东分红.设m为最优分红边界，当mt=m 时，保险公司对于分红和保留储备金暂不分红这 2 种行为的倾向是相同的，因此值函数的边界条件为 V（m）=1，V（m）=0.2值函数的解和最优分红策略引理定义=a-1（MY（a）-1）-24-2r（-1）2（8）当 0 恒成立.证明若 0 显然成立.当 0恒成立.综上得 min乙?a-1（MY（a）-1）-22r2+1，1乙乙=1即当 0.引理证毕.定理设 1，当 m m时，值函数 V（m）为V（m）=（1-）（e1m-e2m）11-（e1m軍-e2m軍）1-（1e1m軍-2e2m軍）m m（9）最优分红边界为m=（2-1）-1ln（12+22）-（2-1）2+（2-1）（1-）（1+2）2-（2-1）2）姨）/（222）（10）式中：*=m1，2=-a-1（MY（a）-1）-2姨1 0 22?证明利用动态规划原理，由式（6）得到 Bellman等式，即rV（mt）dt=supdDtinfutdDt+12ut2dt+EtQdV（mt）（11）再由 It觝 引理可得EtQdV（mt）=乙乙a（MY（a）-1）-+姨ut乙乙V（mt）dt+122V（mt）dt（12）将式（12）代入式（11），可得rV（mt）dt=supdDtinfutdDt+12ut2dt+乙乙a（MY（a）-1）-+姨ut乙乙V（mt）dt+122V（mt）dt（13）当 m m 时，保险公司始终处于不分红的状态.由式（13）可得rV（mt）dt=infut12ut2dt+乙乙a（MY（a）-1）-+姨ut乙乙V（mt）dt+122V（mt）dt（14）对式（14）消去 dt，有rV（m）=infu12u2+乙乙a（MY（a）-1）-+姨u乙乙V（m）+122V（m）（15）由一阶条件，可得满足式（15）的最优的 u 为u=-姨V（m）（16）将式（16）代入式（15），可得rV（m）=-122V（m）2+乙乙a（MY（a）-1）-乙乙V（m）+122V（m）（17）将式（7）代入式（17），有rV（m）=-122V（m）2V（m）+乙乙a（MY（a）-1）-乙乙V（m）+122V（m）（18）设 f（m）=V（m）V（m），由式（18）可得r=12（1-）2f2（m）+乙乙a（MY（a）-1）-乙乙f（m）+122f （m）（19）设 g（m）=（-1）f（m），代入式（19）可得g（m）=g2（m）-2a-1（MY（a）-1）-2g（m）+2r（-1）2（20）设 g（m）=-h（m）h（m），代入式（20），化简得0=h（m）+2a-1（MY（a）-1）-2h（m）+2r（-1）2h（m）（21）不妨取 h（m）=em，由式（21）可得0=2+2a-1（MY（a）-1）-2+2r（-1）2（22）由引理可得方程（22）的解为10第 43 卷第 3 期1，2=-a-1（MY（a）-1）-2姨不妨设 1 0，另外，取参数 r=0.04，=1，=1.考察风险厌恶系数 a 和模糊厌恶系数 对最优分红边界 m的影响，分别取 =0.10、0.15、0.20 和 0.25，最优分红边界m随风险厌恶系数 a 的变化曲线见图 1.由图 1 可见，m随着 a 的增大而减小，当风险厌恶系数增大时，保险公司在单位时间内的保费收入也会增加，而最优分红边界会随之降低，降低分红边界可以增加每次分红的分红额，从而达到最大化破产前累计分红现值的目的.由图 1 还可以看出，m 随着 的增大而减小，当保险公司对替代模型的模糊厌恶增加时，会降低分红边界，以达到最大化破产前累计分红现值的目的.参考文献：1BRUNO D F.Su unimpostazione alternativa della teoria collettiva delrischioC/Proceedings of the Transactions of the XV InternationalCongress of Actuaries，New York：The Society，1957：433-443.2XU R，WOO J K.Optimal dividend and capital injection strategy with apenalty payment at ruin：Restricted dividend paymentsJ.Insurance：Mathematics and Economics，2020，92：1-16.3DICKSON D C M，DREKIC S.Optimal dividends under a ruin proba-bilityconstraintJ.AnnalsofActuarialScience，2006，1（2）：291-306.4CHEN M，PENG X F，GUO J Y.Optimal dividend problem with a non-linear regular-singular stochastic controlJ.Insurance：Mathematicsand 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