连云港外国语学校2010届高三调研考试最后一卷(数学).doc

连云港外国语学校2010届高三调研考试
数学模拟试题（七） 2010年6月2日
一、YCY
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置.
1.复数的虚部为 ▲ .
开始

n整除a
是
输入
结束

输出

图1
否
2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工 ▲ 人．
3.已知，则 ▲ .
4.若等差数列的前5项和，且，
则 ▲ .
5.无限循环小数为有理数，如：，，，…
观察 ，，，…
请你归纳出 ▲ ．
6.阅读图1的程序框图，若输入，，则输
出 ▲ .
7.函数的最小值为 ▲ .
8.已知变量满足约束条件则的取值范围是 ▲ .
9.对于任意，都有成立，则实数的取值范围为 ▲ .
10.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为6cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的体积为 ▲ cm．
11.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为 ▲ .
12.函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围是 ▲ .
13.与轴，轴以及直线都相切的半径最大的圆的标准方程为 ▲ .
14.已知向量满足条件：，且=2，点P是ABC内一动点，则 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
某老师从参加高一年级一次考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）该老师不小心洒了一个墨点在直方图的矩形区域内，求恰好落在第四组的小矩形内的概率（不计墨点大小）；
（3）若60分及以上为及格，估计从高一年级及格的学生中抽取一位学生分数不低于80分的概率．

0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
40 50 60 70 80 90 100

16．(本题满分14分)
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且，侧面PAD是正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，点G为AD的中点.
（1）求证：BG面PAD；
（2）E是BC的中点，在PC上求一点F，使得PG面DEF.

17．(本题满分14分)
已知函数的图像如图所示，数列的前项的和，为数列的前项的和，且.
（1）求数列、的通项公式；
（2）找出所有满足：的自然数的值（不必证明）；
y
x
O
1
-1
（3）若不等式对于任意的，恒成立，求实数的最小值，并求出此时相应的的值.

18．（本小题满分16分）
外轮除特许外，不得进入离我国海岸线12海里以内的区域，如图:我国某海岛海岸线是半径为6海里的圆形区域，在直径的两个端点A、B设立两个观察点，已知一外轮在点P处，测得.
A
B
P
（1）当时，该外轮是否已进入我领海主权范围内?
（2角应满足什么关系时？就应向外轮发出警告，令其退出我海域.

19．（本题满分16分）
已知点为圆：上任意一点，点B(-1,0)，线段的垂直平分线和线段相交于点M.
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点为曲线E上任意一点，求证：点关于直线的对称点为定点，并求出该定点的坐标.

·

20．（本题满分16分）
已知.
（1）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围；
（3）当，时，求证：.

学校 姓名 班级 考试号 座位号
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数学模拟试题（七）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1． ； 2． ；
3． ； 4． ；
5． ； 6． ；
7． ； 8． ；
9． ； 10． ；
11． ； 12． ；
13． ； 14． ；

二、解答题（5大题共90分，要求有必要的文字说明和步骤）
15.(本题满分14分)

16.(本题满分14分)

17.(本题满分14分)

18.(本题满分16分)

19.(本题满分16分)

20.(本题满分16分)

高三数学参考答案及评分标准
一、 填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1. -1 2. 10 3. 4 4. 13 5. 6. 12 7. 8. 9. 10.8 11. 12. 13. 14.18
二、解答题:
15．解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：

0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
40 50 60 70 80 90 100
， ………………2分
直方图如右所示； ………4分
（2）记 “墨点恰好落在第四组的小矩
形内”为事件A，洒墨点是随机的，所
以认为落入每个矩形内的机会是均等的，
于是事件A的概率等于第四个矩形面积
与所有矩形的面积之比，即
，
故墨点恰好落在第四组的小矩形内的概
率为0.3； ………………9分
（3）由图可得，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以其中及格的学生有人，而不低于80分所在的五、六组，频率和，则不低于80分的学生有人，在及格的学生中抽取一位学生是等可能的，有45种可能，记“及格的45学生中抽取一位学生分数不低于80分”为事件B，则事件B包含其中的18个基本事件，所以事件B的概率为， ………………13分
利用抽样学生的成绩，故可估计从高一年级及格的学生中抽取一位学生分数不低于80分的概率为0.4． …………………………14分
16. 证明：
（1）连结BD，因为四边形ABCD为菱形，且，
所以三角形ABD为正三角形，又因为点G为AD的中点，所以BGAD；--------------4分
因为面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD，
所以BG面PAD. ----------------7分
（2）当点F为PC的中点时，PG面DEF
连结GC交DE于点H
因为E、G分别为菱形ABCD的边BC、AD的中点，所以四边形DGEC为平行四边形
所以点H为DE的中点，又点F为PC的中点
所以FH时三角形PGC的中位线，所以PGFH ------------------------------10分
因为面DEF，面DEF
所以PG面DEF.
综上：当点F为PC的中点时，PG面DEF. ----14分

17. 解：（1）由题意得：，解之得:,
当时，
当时，符合上式，故，. -----------------------------2分
当时，
当时，不符合上式，故. -------------------------4分
（2）当时，，且，不合
当时，由题意可得：
而方程只有满足条件，故当时，-----------------------6分
（3）由题得：
，对于一切，恒成立
即 -8分
令（，）
则
------------------------10分
当时，；当时，
而，

故当时，的最小值为46. ----------------------------14分
18. 解：
（1）取AB得中点O，连结OP

，
在三角形PBO中，=252 ---------------------------4分

故该外轮已经进入我领海主权范围内. ----------------------6分
（2）在三角形APB中，，AB=12，由正弦定理得：
-----------------------10分
在三角形POB与PBO中，设
，，
-------------------------12分
，当时
得：
即. ------------------16分
19. 解：
（1）连结MB，,
故，而 -------------------------4分
点M的轨迹是以A、B为焦点且长轴长为的椭圆
点M的轨迹E的方程为 ------------------------8分
（2）证明：设点关于直线的对称点为
所以，即 ----------------------10分
，
-------------------------14分
因为上式对任意成立，故
所以对称点为定点. -------------------------16分

20. 解：（1），
当时，；当时，；
函数在区间（0，1）上为增函数；在区间为减函数 -------------------------3分
当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.
，解得. ---------------------------5分
（2）由（1）得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：. ----------10分
（另解：，，
令，所以，当时，
当时，；当时，
当时，函数取得极大值为
当方程有实数解时，.）
（3）函数在区间为减函数，而，
，即
------------------12分
即，而，
结论成立. ----------------------16分

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