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高考数学正方体创新型及能力型题81例

正方体是常见的也是重要的几何体，正方体有6个表面、8个顶点、12条棱、12条面对角线、4条体对角线、6个对角面；正方体既有外接球又有内切球；在正方体内可构造出别的多面体．以正方体为为载体，可考查各种线线、线面、面面关系以及面积、体积等，因此这类问题是高考命题的一个热点，本资料从高考试卷及高考模拟试卷中精选此类问题中的创新型及能力型能力试题81例，供高三学生备考及数学教师备课时参考．
一、选择题
1.正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（ C ）
A．2 B．3 C． 4 D．5
2.与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点（ D ）[来源:学+科+网]
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是（ C ）
（A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条
4.在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（ B ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、8
5.设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60°角的对角线的数目是 （ C ）
A．0 B．2 C．4 D．6
6.正方体的棱中点分别为E，F，则与直线都相交的直线有（ D ）
（A）有且只有1条 （B）有且只有2条
（C）有且只有3条 （D）有无数条

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
7.如图，正方体中，，
分别为棱，的中点，在平面
内且与平面平行的直线（ A ）
（A）有无数条 （B）有2条
（C）有1条 （D）不存在

（8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为（ B ）
（A）0 （B）3
（C）4 （D）6
9.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ B　 ）．
A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
10.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ C ）．
A．56 B．52 C．48 D．40
11.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ B ）
A.48对 B.24对
C.12对 D.6对
12.将正方体各顶点标上字母, 使其成为正方体, 不同的标字母方式共有 （ B ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．144种

13.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ C ）
A． B． C． D．
14.以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ D ）[来源:学科网]
A． B． C． D．
15.正方体ABCD—A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取两点连成直线，在这些直线中任取一条，它与BD1 垂直的概率为（ D ）
A． B． C． D．
16.一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为 （ ）
A． B． C． D．

17.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ C ）．
A． B． C． D．
18.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 D　 )．
A. 　　 B. 　 C. 　 D.

19.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ A ）
A．π B．π C．π D．π

20.图中都是由边长为1的正方体叠成的图形，例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，以此规律，则第（5）个图形的表面积是（D ）个平方单位。
A 、30 B、20 C、40 D、90

　21.如图，棱长为1的正方体中，E、G分别为棱C1D1、BB1的中点，点F是正方形
　　　 AA1D1D的中心,则空间四边形BGEF在正方体的六个面内的射影所构成的图形的面积中的最大值为(　B )

　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．1
22.正方体中，P在侧面及其边界上运动，且总保持，则动点P的轨迹是
A、线段 B、圆 C，椭圆 D、双曲线
解析： 因为，，所以； 同理
故∵
故P在线段时，总有，选A
23.正方体AC′中，E、F分别是BB′、B′C′的中点，点P在AEF确定的平面内，且P点到A点和平面BCC′B′的距离相等，则P点轨迹是（ C　）
A．直线　　　　B．抛物线 椭圆　　　　D．双曲线
24.正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是A
A. 两个点 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆
25.在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是
A、线段 B、圆 C，抛物线 D、双曲线
解析：∵，
∴就是点P到直线的距离
即点P到定点的距离与到定直线BC的距离相等
则点P轨迹所在曲线是抛物线
26.正方体中的棱长为，M在棱AB上，且，点P是平面ABCD上的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为，则点P的轨迹是
A、线段 B、椭圆 C，抛物线 D、双曲线
M
A
B
C
D

E
F
P
解析：过P作，过F作，连结EP，则PE就是点P到直线的距离，在中
又因为
由上两式子得，
则点P到直线AD的距离等于定点M的距离相等
所以点的轨迹是双曲线，选D
A
B
D
N
N
M
P
G
F

C
E
27.正方体中，E、F分别是棱上的动点，且为EF的中点，，则点P的轨迹是
A、线段 B、抛物线 C，椭圆 D、双曲线
解析：连结，取的中点M，连EM并延长
交AB于G，连结GF，易得
∵，∴，故
又M为EG中点，，P为EF中点∴，故
连结，取中点N同理可证，所以M、P、N三点共线
所点P的为线段MN，选A
28．如下面左图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面内有一动点到与的距离之比为2，则动点所在的曲线为（ ）
A
A
A
A
B

B
B
A1
A1
A1
A1
B1
B1
B1
B1
B
B
C
B1
A1
C1
D1
A
D

A B C D
解析：点到与的距离之比为2，即P到定直线是到定点的距离二倍，轨迹所在的曲线是椭圆，离心率为。直线是准线，B是焦点，直线是对称轴，AB中点满足条件，的三等分点满足条件。答案：D
29.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，则函数的图象大致是（ B ）
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O

30. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（C ）

31.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F//平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是（ ）

A． B．
C．} D．
32.已知正方体的棱长为2, 长
为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点
在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为（D）
A． B．
C． D．

33.已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（A ）
A、 B、 C、 D、
34.如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,、、是展开图上的三点,
则正方体盒子中,的值为 C
A． B．
C． D．
35.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（ B ）

B． C． D．
36.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为B

（B） （C）　　 （D）

37.一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是C

A． ①② B．①③ C． ②④ D．③④

38.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ C ）

39.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、
D1D、DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是 （ B ）

A． B． C． D．

40.如图所示，O是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是A
(A) (B) (C) (D)
A
B
C
D
O
E
A1
B1
C1
D1

41.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球、，
这两个球相外切，且球与正方体共顶点的三个面相切，
球与正方体共顶点的三个面相切，则两球在正方体的

面上的正投影是( B )

A B C D[来源:Zxxk.Com]

42.如图所示的正方体的三个面上，分别画了填充不同的圆，下面的4个图中，是这个正方体展开图的有(  C  )．

43.如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，
垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（　D　）
Ａ．点是的垂心
Ｂ．的延长线经过点
Ｃ．垂直平面
Ｄ．直线和所成角为

44如果用表示一个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（ ）

B． C． D．

45.下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ B ）
[来源:Z_xx_k.Com]

A. B. C. D.

46.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图，则在原正方体中（ ）

A AB∥CD B AB∥EF C CD∥GH D AB∥GH
解析：选C。折回原正方体如图，则C与E重合，D与B重合。显见CD∥GH

47.如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（ D ）

Ａ．点是的垂心
Ｂ．垂直平面
Ｃ．的延长线经过点
Ｄ．直线和所成角为

48.正方体ABCD-的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（D ）
A. AC⊥BD
B. EF//平面ABCD
C. 三棱锥A-BEF的体积为定值
D.⊿AEF与⊿BEF的面积相等
49.用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
俯视图

主视图
图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )
A．与 B．与
C．与 D．与
50.如图是一个简单的组合体的
下面是一个

棱长为4的正方体，正上面放
一个球，且球的一部分嵌入正
方体中，则球的半径是( )
A. B. C. D.
答案B
51.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）
①正方体
②圆锥
③三棱台
④正四棱锥

A．①② B．①③ C．①④ D．②④
52.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界
上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（　　）
A．线段B1C B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段

53.在正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＤ１与ＤＢ１、ＤＣ１、ＣＣ１所成的角分别为α、β、γ，则α＋β＋γ的值是（　　）．
Ａ．180°
Ｂ．195°
　　Ｃ．165°
Ｄ．225°
54.正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点。那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ D ）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

A.
B.
C.
D.
55.下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（　C　）

56.正方体各个面所在的平面能将空间分成m个部分，m应等于　　　　　　　　　　　　　（A　　）
A. 27 B. 21 C. 18 D.9
57.正方体中，为线段上的一个动点，则下列结论中错误的是（ ）
平面
三棱锥的体积为定值 直线直线
58.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是D

59.如图，P是正方体ABCD—A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是A

(A)

(B)

(C)

(D)

60.右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，

①平行
②CN与BE是异面直线
③CN与BM成角
④DM与BN垂直
以上四个命题中，正确命题的序号是C
（A）①②③ （B）②④
（C）③④ （D）②③④
61.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有B
8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种
62.如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （ B ）
A． B．
C． D．
63.从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为 （ C ）
A．56 B．52 C．48 D．40
64.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 （ ）
A． B． C． D．
65.如右图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上
存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为( D )
A.2 B.
C.2+ D.

66.两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有

（A）1个　　　　　（B）2个
（C）3个　　　　　（D）无穷多个

67.已知棱长为1的正方体中，E，F，M
分别是、、的中点，又P、Q分别在线段
、上，且，，设面
面，则下列结论中不成立的是（ D ）
A．面
B．
C．面与面不垂直
D．当变化时，不是定直线

68.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是
A. 南 B. 北
C. 西 D. 下
解：展、折问题。易判断选B

二填空题
69.用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何体的体积最大是 7 cm3．中学学科网

图1（俯视图） 图2（主视图）
70.一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：①三角形；②菱形；③长方形；④正方形；⑤正六边形．其中正确的结论是___________．（把你认为正确的都填上）②③ ④⑤
71.如图E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______(要求：把可能的图的序号都填上)．②③

72.如图，正方体的棱长为，将该正方体沿对角面切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为　　　　　．）

73.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．
[来源:学科网][来源:Z*xx*k.Com]

左视图
主视图

俯视图

解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。
74.有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为
解析：球最大时与正方体的各棱相切，直径应为，所以正确答案为：。
75.在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为 。
正确答案：
76.在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号） ①②③
① 能构成每个面都是等边三角形的四面体；
② 能构成每个面都是直角三角形的四面体；
③ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.

O1
O2
O3
77.如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是 m3.（）

78、在边长为1的正方体中，P为正方 体内一动点(包括表面)，若，且。则P点所有可能的位置所构成的几何体的体积是 .
79.如图，E、F分别为正方体面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 。
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影
可能是 ▲ ①④
①
③

④
②

（80.多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
解：如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

A1

81.如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：

①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是是 ①②④ _______.（填写真命题的序号）

整理：河南郸城王保社