数值分析常微分方程的数值解法.doc

《计算机数学基础（2）》教学辅导5
《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导

14 常微分方程的数值解法

一、重点内容
1. 欧拉公式：

局部截断误差是O(h2)。
2. 改进欧拉公式：
预报－校正公式：

即
或表成平均的形式：

改进欧拉法的局部截断误差是O(h3)
3. 龙格－库塔法
二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h3)
三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h4)
四阶龙格¾库塔法公式：
其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)
四阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h5)。

二、实例
例1 用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2。计算过程保留4位小数。
解h=0.2, f(x)=－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式

当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有
y(0.2)»y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8000
当k＝1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有
y(0.4)»y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4
当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有
y(0.6)»y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)＝0.8000
例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。
解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=－y－y2sinx
欧拉预报－校正公式为：

有迭代格式：

当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有

当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2=1.4，有

=0.52608
例3 写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。计算过程保留4位小数。
解 此处f(x,y)=8－3y, 四阶龙格－库塔法公式为

其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)
本例计算公式为：

其中 k1=8－3 yk；k2=5.6－2.1 yk；k3=6.32－2.37yk; k4=4.208＋1.578yk

当x0=0,y0==2,

例4 设初值问题，证明用梯形公式求解该问题的近似解为

证明 解初值问题的梯形公式为
(k=0,1,2,…,n－1)

整理成显式
( k=0,1,2,…,n－1)
用k=n,n－1,n－2,…,1,0反复代入上式，得到

例5 选择填空题：
1. 取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题的计算公式是
答案：
解答：欧拉法的公式

此处，迭代公式为

2. 改进欧拉法的平均形式公式是( )
(A) (B)
(C) (D)
答案：(D)
解答：见改进欧拉法平均形式公式。
三、练习题
1.求解初值问题欧拉法的局部截断误差是( ); 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( )
(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
2. 改进欧拉预报－校正公式是

改进欧拉法平均形式公式为yp= , yc= ，yk+1=
试说明它们是同一个公式。
3. 设四阶龙格－库塔法公式为

其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)
取步长h=0.3，用四阶龙格－库塔法求解初值问题的计算公式是 。
4.取步长h=01, 用欧拉法求解初值问题
5. 试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题的计算公式，并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过10－5。
6. 对于初值问题试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)的近似值。
7. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题在x=0.2,0.4,0.6处的近似值。
8. 证明求解初值问题的梯形公式是
yk+1=yk+, h=xk+1－xk (k=0,1,2,…,n－1)，
四、练习题答案
1. (A), (B), (D)
2. ;
yk＋;
只需将yc, yp的表达式代入到yk+1中，就得到预报－校正公式。
3.
提示：其中 k1=1－yk；k2=0.85(1－yk)；k3=0.8725(1－yk)；k4=0.73825(1－yk)

4.y1=1，y2=1.005 000，y3=1.010 025，y4=1.025 175，y5=1.045 679，
y6=1.078 21，y7=1.103 976，y8=1.142 615，y9=1.188 320，y10=1.241 794
5. 计算公式为

6.欧拉法：y(0.2)»1.000 00; y(0.4)»1.080 00
欧拉预报－校正公式：y(0.2)»1.020 84; y(0.4)»1.042 40
四阶龙格－库塔法：y(0.2)»1.002 673 ; y(0.4)»1.021 798
7. yp=0, yc=0.04, y1=0.02；
yp=0.056, yc=0.0888, y2=0.0724；
yp=0.13792, yc=0.164816, y3=0.151368
8. 提示：见教材关于梯形公式的推导。

5