四年级奥数讲义168学子教案库12、精英学生.doc

第十二讲 等差数列

盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？
想 挑 战 吗 ？

你还记得吗

[复习一]（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：
定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.
譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列

（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a1表示；
末项：一个数列的最后一项，通常用an表示，它也可表示数列的第n项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；
项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示；
和 ：一个数列的前n项的和，常用Sn来表示 .

（3） 三个重要的公式：
① 通项公式：递增数列：末项=首项＋(项数-1)×公差，
递减数列：末项=首项-(项数-1)×公差，
② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1
③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2，

（4）中项定理
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.
譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=1800 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；
（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .

[复习2]（1）3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项？它的第102项是多少？
（2）已知等差数列2、5、8、11、14 … ，问47是其中第几项？
（3）如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项.

专题精讲

（一） 等差数列在计算中的综合运用

【例1】 （1）(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)

（2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；

（3）61+692+6993+69994+699995+6999996

【例2】 （1）从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有多少个？
（2）1至100各数，所有不能被9整除的自然数的和是多少？

【例3】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?

【例4】 从1到100的100个数中，每次取出两个不同的自然数相加，使它们的和超过100.有几种不同的取法？

【例5】 为了参加区里的乒乓球比赛，师大附小在学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛.问：有多少人参加了选拔赛？

【例6】 小丸子玩投放石子游戏，从A出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，…照此规律最后走到B处放下35枚石子.问从A到B路程有多远？

【例7】 在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍.如果最大的三角形共有8层，问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

（二） 等差数列在数表中的综合运用
【例8】 （希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.
序号 等式
1 1 ＋ 2 ＋ 3= 6
3 3 ＋ 5 ＋ 7= 15
5 5 ＋ 8 ＋ 11= 24
7 7 ＋ 11 ＋ 15= 33
∶　　 ∶ ∶　 ∶　 ∶
（ ）　（ ）＋（ ）＋7983=（ ）

【例9】 自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？

【例10】 将自然数如下排列，

在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？

专题展望

本讲主要讲了等差数列在实际解题过程中的综合运用，在以后的学习中我们还会学习到关于等差数列的更多知识，希望同学们再接再厉，加油！
练习十二

1. 计算 （1）2+4+8+10+14+16+20+22+…+92+94+98+100；

（2）1000+999-998+997+996-995+…+106+105-104+103+102-101；

（3）72+793+7994+79995+799996

2. 在1～200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?

3. 从1到50这50个连续自然数中，取两不同的数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？

4. 用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？

5. 把自然数依次排成“三角形阵”，如图9－3.第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求：

　　（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？
　　（2）207排在第几排第几个数？
　　（3）第13排各数的和是多少？

数学故事

从前有一个非常聪明的数学家，他能用数学知识为人们解决许多常见的生活问题，受到人们的爱戴．可是国王嫉贤妒能，总想找借口把年轻的数学家除掉，但一直没有如愿．
那时国王正在修一个豪华的宫殿，将要落成的一天，国王看着漂亮的宫殿忽然想到一个为难数学家的好办法，于是派人把数学家找来，说有难事请他帮忙．
数学家来到皇宫拜见国王，国王见到数学家心中就有气，他脸露一丝坏笑，说：“听说你很有能耐，什么难题都难不倒你，并以此得到了我臣民的拥护，能有你这样的臣民我应该很高兴，但我怕你是欺世盗名之徒，骗取我臣民的忠心，所以我要考考你，假如你能过关，我就相信你，并保证永远不会再为难你，否则，就将你永远赶出我的国家!”数学家被迫答应了．
国王的问题是：新建的皇宫给国王的每一位妃子都建了一个寝宫，国王为了区分不同的妃子在哪个寝宫，决定在每个寝宫门口挂上数目不同的中国结．办法是在第一个门口中间挂上一个，在第二个门口除了中间的一个再分别在两侧各挂上一个，在第三个门口除了第二个门口的三个再在两侧各挂上一个……如此类推，国王共有50个妃子，问一共需要多少个中国结?
国王不许数学家到宫门口去试，只许他用脑子想，要是一小时内没有结果就算失败．国王出完题之后命人看住数学家，不让他出去，自己想到后宫去休息一会儿．可还没等到他跨出门口就被数学家叫住了，数学家已经得出了答案：2500个中国结．国王半信半疑，急忙命人去试一下．试了半天，终于试完了，果然是2500个!
国王被迫让数学家离开了，可是事后百思不得其解，数学家是怎样知道答案的呢?但碍于面子他宁死不向数学家请教，只是终日冥思苦想，再也没有心思害人了．但他最终也没想明白是怎么回事，终于积劳成疾，命不久矣．临死前他终于忍不住命人把数学家请来，客气地说：“我以前终日与你为难，最终还是难不住你，这些日子我一直对你算出中国结数目的事不解，不知道你如何能那么快得出答案，你能告诉我吗?”
见国王时日无多，数学家恭敬地说：“是这样的，我把每个门口的中国结数目列在一起，想成一列数，它们相邻两个的差都是2，我称这样的数列为等差数列，第50个门口是99个，与第一个门口的一个合成100个，第49个门口是97个，与第二个门口的3个合成100个，……如此类推，一共可以合成25个100，合起来共是2500个中国结．”
国王听完满意地点了点头，传出命令：“封数学家为全国最聪明的人……”说完永远闭上了双眼．