左矩形求积公式教学教材.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Chapter 7,数值积分与数值微分,内容提纲（,Outline),求积公式的代数精度,插值型求积公式,复化求积法,为什么要数值积分？,在微积分里，按,Newton-Leibniz,公式求定积分,要求被积函数,f,(,x,),有解析表达式；,f,(,x,),的原函数,F,(,x,),为初等函数,Why do we do numerical integral?,问题,f,(,x,),没有解析表达式，只有数表形式,e.g.,f,(,x,),有表达式，但原函数不是初等函数,e.g.,，,它们的原函数都不是初等函数.,x,1,2,3,4,5,f,(,x,),4,4.5,6,8,8.5,求定积分就得通过近似计算数值积分求得积分近似值,基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分，同时考虑近似精度。,下面首先给出代数精确度的概念,7.1,代数精确度,本章讨论的是形如,的定积分的数值计算，其中为权函数，要满足,5.4,节中所提的条件,.,一般把积分区间,n,个点,x,k,上的函数值,f,(,x,k,),加权,A,k,的和,作为积分,I,(,f,),的近似,即,或记,(2),上式中,x,k,，,A,k,分别称为求积节点、求积系数,.,求积系数与被积函数,f,(,x,),无关,而与求积节点、求积区间、权函数有关称公式,(2),为,n,点求积公式，有时也称,为一个,n,点求积公式，为求积公式的误差用此公式,),求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分,构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有,(i),确定求积系数,A,k,和求积节点,n,；,(ii),求积公式的误差估计和收敛性,用什么标准来判定两个节点数相同的求积公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一个标准在后面的讨论中我们将看到，节点相同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分近似值精确度一般越好下面给出代数精确度的定义,定义若对任意的，求积公式,(2),的误差都满足，则称该求积公式具有,n,次代数精确度,验证一个求积公式所具有的代数精确度用定义是极不方便的，为此给出另一个定义,定义,2,若对函数，,求积公式,(2),精确成立，即,而，,则称其具有,n,次代数精确度,因为函数组 是的一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义,2,比定义,1,要方便的多,例验证求积公式,具有,3,次代数精确度,解：当,而,有,（,1,）当,（,2,）当,（,3,）当,（,1,）当,故求积公式具有三次代数精确度,7.2,插值型求积公式,这一节所讨论的求积公式，都是用在区间,a,b,上对被积函数,f,(,x,),作插值所得插值多项式,P,n,(,x,),代替被积函数,f,(,x,),导出的公式这一类求积公式的求积节点,x,k,，就是对,f,(,x,),作插值时的插值节点，所以这类求积公式称为插值型求积公式,为简便起见，这节讨论节点分布为等距并且权函数,时的插值型求积公式的构造等问题,7.2.1 Newton-Cotes,求积公式,一、公式的推导,设将积分区间,a,b,n,等分，求积节点为 ，,那么，,令,x,=,a,+,th,，则,t,=(,x,-,a,)/,h,，且由,可知,由,Lagrange,插值基函数有,而，所以,将,n,次,Lagrange,插值多项式,L,n,(,x,),代替被积函数,f,(,x,),得,记,称为,Cotes,求积系数它与,(3),式中的求积系数,A,k,相差一个常数b,-,a,即,把,A,k,代入到,(3),式中，得到,Newton-Cotes,求积公式例如,当,n,=4,5,时，,Newton-Cotes,公式分别为,n,=0,1,2,三种情形，在讨论,(3),式中的余项,R,(1,f,),后再详细讨论,二、误差估计,求积公式,(3),计算出的积分,I,(,f,),的近似值,I,n,+1,(,f,),的误差多大？,若被积函数 ，记，,对,n,次,Lagrange,插值余项求积，可得,n,+1,个节点的,Newton-Cotes,求积公式的误差估计式为,(5),验证求积公式,(3),的代数精确度，不用误差估计的,(4),式，而用直接对插值余项求积的形式即,(5),由,(5),式，显而易见，当时，因,可知，,R,(1,f,)=0,，所以我们所,n,+1,点的求积公式,(3),至少具有,n,次的代数精确度进一步可以证明，当,n,为偶数时，求积公式,(3),的代数精确度可以达到,n,+1,次,三、几种常见的,Newton-Cotes,求积公式,对,n,=0,1,2,按公式,(3),可以得出下面三种常见的,Newton-Cotes,求积公式,.,1.,n,=0,时的矩形求积公式,分别以积分区间,a,b,的左、右端点和区间中点，即,x,=,a,，,b,，,(,a,+,b,)/2,为求积节点得到：,左,矩形求积公式：,右,矩形求积公式：,中,矩形求积公式：,三个求积公式的误差估计，可将函数,f,(,x,),分别在,处展开到含,f,(,x,),的一阶导数的,Taylor,公式在区间,a,b,上积分,推得,2.,n,=1,时的梯形求积公式,按,Cotes,系数公式计算得,故求积系数,A,0,A,1,为 ，,梯形求积公式为,记,(6),式的几何意义如图,7-2,所示（见,p327,）,容易验证公式,(6),的代数精确度的次数为,1.,考虑梯形求积公式,(6),的误差估计,R,(1,f,),假定,时，用推广的积分中植定理，将过,(,a,f,(,a,),(,b,f,(,b,),点的线性,插值的余项 在,a,b,上积分，可得,其中,也称为梯形求公式,3.,n,=2,时的,Simpson,求积公式,按,Cotes,系数公式可以计算出,为此，,所以,(8),公式,(8),称为,Simpson,求积公式由,7.1,节例,1,可知,Simpson,求积公式,(8),具有次的代数精确度,Simpson,求积公式,(8),的误差估计,R,(1,f,),不能直接有插值,余项 利用推广的积分中值定理在,a,b,上积分推出原因是 在,a,b,上要变号,