高三文科数学019.doc

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期数： 0510 SXG3 019
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇十五 高三文科数学总复习十
——函数的奇偶性

【学法引导】
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生理解奇偶性的定义，掌握判定函数奇偶性的方法，会利用奇函数与偶函数的图象的性质解题.
【基础知识概要】
1．奇函数与偶函数定义
一般地，对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数；如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x) = f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
注意：一个函数具有奇偶性的前提条件是它的定义域关于原点对称.
2．用定义判定函数的奇偶性的步骤
（1）考查定义域是否关于原点对称；
（2）判断之一是否成立.
3．奇函数和偶函数的图象的性质
奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函
数是奇函数；偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.

【应用举例】
例1 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.
技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是焦点.
证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=x2－1)(x1+1)<0，
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由题意知f()<0，
即f(x2)逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.
技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.
解：设03a2－2a+1.解得0的单调减区间是［，+∞］，
结合00,f(x)=是R上的偶函数，(1)求a的值；(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数.
(1)解：依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.
整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1.
(2)证明：设0＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)=
由x1>0，x2>0，x2>x1，得>0,1－e＜0,
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
本节所涉及的问题及解决方法主要有：
(1)判断函数的奇偶性与单调性
若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.
若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.
同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“例题”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.
复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.
(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.

【强化训练】
一、选择题
1．下列函数中的奇函数是( )
A.f(x)=(x－1) B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
2．函数f(x)=的图象( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线x=1对称
二、填空题
3．函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________.
4．若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0ax+(a>1).
(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数.
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
6．求证函数f(x)=在区间(1，+∞)上是减函数.
7．设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：
(1)f(x)是奇函数.
(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.
8．已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x>－时，f(x)>0.
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

参考答案
一、1．解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)为奇函数.
答案：C
2．解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.
答案：C
二、3．解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在
(－∞,－1上递减.
答案：(－∞,－1
4．解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，
∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞单调递增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0,
∴b=－a(x1+x2)＜0.
答案：(－∞,0）
三、5．证明：（1）设－1＜x1＜x2＜+∞，则x2－x1>0，>1且>0,
∴>0，又x1+1>0，x2+1>0，
∴>0,
于是f(x2)－f(x1)=+ >0，
∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数.
（2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0，则，且由0＜＜1得0＜－＜1，即＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.
证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0.
若－1＜x0＜0,则＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾；
若x0＜－1，则>0，>0，∴f(x0)>0，与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.
6．证明：∵x≠0,∴f(x)=,
设1＜x1＜x2＜+∞，则.

∴f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1，+∞）上是减函数.
7．证明：(1）不妨令x=x1－x2，则
f(－x)=f(x2－x1)==－f(x1－x2)=－f(x).
∴f(x)是奇函数.
(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a)，f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x)，故f(x)是以4a为周期的周期函数.
8．（1）证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－，由题意得f(x2－x1－)>0,
∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0,
∴f(x)是单调递增函数.
(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.