第二章-第一节-正交多项式教学文案.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 第一节 正交多项式,为函数f 与g在a,b上的,内积,.,内积具有下列简单,性质,:,我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种度量两个向量u 及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词.,定义2,给定 ,是,a,b,上的权函数,称,(1),(2),(3),(4),当,定义3,一个实值函数称为一个函数空间的,范数,如果它在空间处处有定义并满足条件:,(1)最大值范数,:,(2)欧氏范数,(L,2,范数,):,(1),(2),为任意常数,(3),在闭区间上连续的函数 的最常见范数有,:,(1.1),(1.2),定义4,若内积,则称,是,a,b,上带权,的,正交函数系,.,当,是代数多,项式时,称为,正交多项式,.,下面我们列举几个最常见的正交函数系,.,满足,:,则称 与 在区间 上带权,，若函数,正交,例,1、,三角函数系,1，,在区间,-,上两两正交,因为,二、,正交多项式的性质,若记,则 的最高次项的系数为1，并且 也是在 上带,权正交的 次多项式。,设 是在 上带权正交的多项式序列，其中,表示 次正交多项式：,性质1,关于权函数 的任意正交函数系 都是线性,无关的。,特别地有事实上，要是 则以 乘等式,的两边并积分，得到 由此可知,推论1,任何次数不超过 的多项式 可由正交多项 式,线性表出，即,推论,2,任何次数不超过,的多项式,必定同,带权,正交,即,其中,性质,2,对于最高次项系数为,1,的正交多项式,存,在着递推关系,证明,由于,是,次多项式，因此可由,线性表出，即存在 使,并积分,比较,两边的系数，可见 。两边乘以,有,从而,而,故,，所以,当,时，因为,是 次多项式，,当 时,于是有,把这些结果代入（1.11）式，得到,即,证毕。,当,时，则有,其中,推论,对于最高次项系数为 的正交多项式,有递推,关系式,性质,3,次正交多项式,有,个互异的实根，并且全,部位于区间 内。,证明：取固定的,假定,则,此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数,使,现假设 是,的重根，即,则,另一方面却有,是,次多项式，由正交多项式的定义有,或写成,两端乘以 ,并在 上积分，对于左端来说，由于,的次数低于 ,所以由正交多项式定义，积分,值为零，对于右端来说，由于 在 上不变号，所以,积分值不为零，由此矛盾推出 k 必须等于 。即 在,内恒有 个互异实根。,这就推出 只能是 的单根。现假设 在区间,内只有 个根 于是,三、,Legendre 多项式,即多项式:,即多项式:,是-1,1上的正交多项式,且有,事实上,设 ,由分部积分法得,若 ,则,若,则有,于是有,四、,Chebyshey 多项式,即多项式,在区间,-1,1,上关于权函数,正交,且,于是有,事实上,若,则有,例,、Laguerre,多项式,即多项式,的,n,次正交多项式,且,是在,上带权,五、其它常用的正交多项式,即多项式,的,n,次正交多项式,且有正交关系式,:,是在区间,上带权,例,5、,Hermite,多项式,三、小结,1、,正交函数系的概念,a,b,上的权函数，,内积，,范数，,正交,，正交函数系,正交多项式,三角函数系，Legendre 多项式，,Chebyshey 多项式,Laguerre,多项式,Hermite,多项式,2、,正交多项式的性质,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,