人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2018/6/19 Tuesday,#,定积分的概念,新课引入：你能求出以下阴影部分图形的面积吗？,阴影部分类以一个梯形，有一条边是曲线,y=f(x),的一段，,y=f(x),所围成的图形称为曲边梯形,。,根据梯形的面积公式可求,把图形分割成两个三角形和三个梯形求面积,此图形既不规则，也不是直线图形，怎么办？,图,1,图,2,图,3,一、定积分的两个实例,（一）、求曲边梯形的面积,与直线,x=1,y=0,所围成,的平面,新课探究,如何求抛物线,图形的面积,S,？,引例中的图,1,，图,2,，,对求曲边,梯形的面积,有什么启发吗？,你能写出每个小区间的左右端点的横坐标吗？每个小区间的长度记为 ，的值是多少？,类比上图可以考虑用分割法把区间,0,1,等分为,n,个小区间,把不规则图形分割成规则图形求面积,类比上图可把分割得到的每个小曲边梯形用直边图形近似代替，即“以直代曲,”求面积,规则图形可直接用公式求面积,用怎样的直边图形代替曲边梯形求面积呢？,用直边图形近似代替曲边梯形的方法有三种，每种方法得到的直边图形的长和高分别是多少？,以第一种方法为例，可把曲边梯形分割成,n,个小矩形,当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系,当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系,当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系,当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系,分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系,当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系,分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之和与曲边梯形的面积有什么关系,观察归纳,当分割得到的小矩形越来越细时，小矩形的面积之和越接近曲边梯形的面积,S,。当,n,无穷大时，小矩形的面积之和与曲边梯形的面积趋近于相等。,由此，我们得到求曲边梯形面积的第三步为：,求和求出,n,个小矩形面积之和，作为曲边梯,形面积,S,的近似值，即,得到曲边梯形的面积的近似值为,由,n,s,的近似值,20,0.30875,30,0.31685,40,0.32094,50,0.3234,60,0.32505,70,0.32622,80,0.32711,90,0.3278,100,0.32835,110,0.3288,120,0.32918,130,0.3295,140,0.32977,150,0.33001,160,0.33021,170,0.3304,180,0.33056,190,0.33071,199,0.33082,200,0.33084,1000,0.33283,2000,0.33308,3000,0.33317,5000,0.33323,根据表格数据我们可以看到当,n,值,越大时，,S,的值越接近,由此我们得到求曲边梯形面积的第四步,：,取极限,：,当,n,趋向无穷大时，趋向某个值,S,，这个值,S,就叫 的极限值,由,得到,n,与,S,关系如表格所示：,即,以这种方法近似代替小曲边梯形得到曲边梯形的面积为,这两种方法近似代替小曲边梯形得到的面积也是 吗,？,课后思考,（二）、汽车行驶的路程,思考：汽车以速度为,v,做匀速直线运动时，经过时间,t,所行驶的路程为,s=vt,，,如果汽车做变速直线运动，在时刻,t,的速度为,你能类比求曲边梯形的面积的过程，求出汽车在,这段时间内行驶的路程,S,（单位：,km,）吗,？,思考方向：,变速直线运动的路程,匀速直线运动的路程,转化,过程,：,2,、当,n,无限大时，每个小时间段上的,v,变化很小，可看作不变。,1,、把时间,0,1,分割成,n,个小时间段,3,、求出各小时间段的路程再相加，得到路程的近似值。,4,、令,n,趋向于无穷大，得到路程的精确值。,总结归纳：,根据前面两个实例，你能总结出求任意一个曲边梯形在区间,a,b,的面积的方法步骤吗,?,一、,分,割,:,在区,间,a,b,上等间隔地插入,n-1,个点,将它等,分,成,n,个小区,间,:,每个小区间宽度,D,x,，,二、取近似值,任取,x,i,=,x,i,-,1,或,x,i,=,x,i,，,第,i,个小曲边梯形的面,积用高,为,f,(,x,i,),宽为,D,x,的小矩形面积,f,(,x,i,),D,x,近似地去代替,.,三、作,和,:,取,n,个小矩形面积的和作为曲边梯形面积,S,的近似值：,四、取极限,:,所求曲边,梯形的面,积为,如果当,n,+,时，,S,n,就无限接近于某个常数，,求,曲边梯形面,积和求汽车行驶的路程这两个实例,都是通,过,“,四个步,骤,”,来实现,:,这个常数叫做函数,f(x),在区间,a,b,上的定积分，记作,二、定积分的概念,，即,曲边梯形面积,S=,分割,-,近似代替,-,求和,-,取极限,小矩形的面积和为,叫做积分上限,叫做积分号,叫做积分下限,叫做被积函数,叫做积分变量,f,(,x,),dx,叫做被积表达式,a,b,叫做积分区间,（一）定积分的相关名称,1,.,当,的极限存在时，,其极限值仅与被积函数,及积分区间,有关,，与,点的取法,无关,。,a,b,2,定积分的值与积分变量用,什么字母表示无关,，即有,（二）定积分的一些相关说明：,根据定积分的概念，曲边梯形的面积,汽车在,0,，,1,这段时间内经过的路程,（三）、定积分概念的进一步理解,三、定,积分的几何意义：,x,=,a,、,x,=,b,与,x,轴所围成的曲边梯形的面积。,当,f,(,x,),0,时，由,y,fx,),、,x,a,、,x,b,与,x,轴所围成的曲边梯形位于,x,轴的下方，,上述曲边梯形面积的负值。,三、定,积分的几何意义：,a,b,O,x,y,（一）定积分几何意义的应用,x,y,O,a,b,根据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积,S,吗,?,a,b,O,x,y,x,y,O,a,b,（二）,定,积,分的基本性质,性,质,1.,性,质,2.,性,质,3.,思考,：你能,从,定积分的几何意义解释性质,(3),吗？,a,b,y,=,f,(,x,),c,O,x,y,(,一）利用,定,积,分的几,何意,义求下列函数的定积分,1,、,2,、,3,、,四、练习巩固,-1,2,（二）用定积分表示下图阴影部分的面积,1,4,1,定积分,的概念,2,定积分的思想和方,法,3.,定积分的几何意义及简单性质,今天这节课你有什么收获？,五、课堂小结,分割,-,近似代替,-,求和,-,取极限,