第一类曲线积分上课讲义.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,曲线积分与曲面积分,*,第一类曲线积分,积分学,定积分二重积分三重积分,积分域,区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲面积分,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量场中的积分,表示一物体在力场中沿曲线所做的功,液体流过一个表面的流量,第十章,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类曲线积分,二、第一类曲线积分的 概念与性质,一、问题的提出,三、第一类曲线积分的 计算,一、问题的提出,假设曲线形细长构件在空间所占,弧段为,AB,其线密度为,“,分割,近似,求和,取极限”,可得,为计算此构件的质量,例,1:,曲线形构件的质量,采用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,设,则,则曲面的面积为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义：,设,L,是空间中一条有限长的光滑曲线,函数,在,L,上有定义,都存在,L,上,对弧长的曲线积分,记作,若通过对,L,的,任意分割,局部的,任意取点,二,.,定义及性质,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分,.,称为,被积函数，,L,称为,积分弧段,.,和对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,ds,称为,弧长元素（弧微分如果,L,是,xoy,面上的曲线弧,如果,L,是闭曲线,则积分号记为,则定义对弧长的,曲线积分为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定义知：,物理意义,几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本性质：,2.,（线性性质）：,假设下面所涉及到的函数在积分曲线上都是可积的，,P,表示平面或空间上的某个点。,3.,（积分区域的可加性）：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于曲线的轮换对称性：,平面曲线,具有轮换对称性是指：曲线关于直线,x=y,对称。,如果平面曲线,L,有,轮换对称性，则它的方程,F,(,x,y,)=0,，有如下特征：将,Fx,y,),中的变量,x,y,的位置任意互换，不会改变,F,的表达式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果,平面,曲线,L,有轮换对称性，那么交换被积函数,f,(,x,y,),中变量,x,y,的位置，积分值不会改变，即,F,(,x,y,z,)=0,，,G,(,x,y,z,)=0,有如下特征：将,F,(,x,y,z,),，,G,(,x,y,z,),中的变量,x,y,z,的位置任意互换，不会改变,F,，,G,的表达式。,空间曲线,具有轮换对称性是指：曲线关于直线,x=y=z,对称。,如果空间曲线,L,有,轮换对称性，则它的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果空间曲线,L,关于直线,x=y=z,对称，,那么被积函数,f,(,x,y,z,),中的变量,x,y,z,无论怎样互换，积分值不会改变。即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线对称性的补充性质：,1,、,如果两条平面曲线,L,1,、,L,2,关于直线,x=y,对称，则,2,、,如果两条空间曲线,L,1,、,L,2,关于平面,x=y,对称，则,同理，如果,L,1,、,L,2,关于平面,y=z,及,z=x,对称，也有类似的性质。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,、如果空间曲线,L,关于平面,x=y,对称，那么交换,被积函数,f,(,x,y,z,),中的变量,x,y,的位置,，,z,的位置不动,，,积分值不会改变。即,同理，如果空间曲线,L,关于平面,y=z,及,z=x,对称，有类似的性质。,三、对弧长曲线积分的计算,定理,1,（平面曲线的情况）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,因此积分限必须满足,(2),注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其它情形：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,2,(,空间曲线的情况,),：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,1,：,参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,2,：,参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,3,：,极坐标,例,3.,计算,其中,为球面,解,:,化为参数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,1:,其中,L,为球面,被平面 所截的圆周,.,例,4.,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,2:,其中,L,为球面,被平面 所截的圆周,.,例,4.,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,计算,其中,为球面,被平面 所截的圆周,.,解,3:,由轮换对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,例,4,中,改为,如何计算,解,1:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,已知椭圆,周长为,a,解,:,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,此题用公式是积不出来的！,四、几何,应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,、曲线的弧长,2,、柱面的侧面积,例,6.,解,1:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,解,2:,用上一章重积分的应用做,机动 目录 上页 下页 返回 结束,联立,a,z,o,x,D,xz,a,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,a,z,o,x,D,xz,则所求面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7,（上章习题课例,11,）,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,用微元法：,如图面积元素为,绕,x,轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,、旋转曲面的侧面积,解：,旋转曲面的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、,物理应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为形心,机动 目录 上页 下页 返回 结束特别地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,例,4,中,改为,如何计算,解,2:,令,则,圆,的形心在原点,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,9.,计算半径为,R,，中心角为,的圆弧,L,对于,它的对称轴的转动惯量,I,(,设线密度,=,1,),。,解,:,建立坐标系如图,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,10.,L,为球面,坐标面的交线,求其形心,.,在第一卦限与三个,解,:,如图所示,交线长度为,由对称性，形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由对称性,例,11.,有一半圆弧,其线密度,解,:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,定义及基本性质：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对光滑曲线弧,2.,计算：,对光滑曲线弧,3.,应用：,几何、物理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不同处,:,对弧长的曲线积分要求,d,s,0,，,但定积分中,d,x,可能为负。,定积分和弧长积分的关系,:,相似处,:,从几何上讲，,都表示空间曲线下柱面的侧面积。,作业,习题,9-1(P,241),1(2)(3)(6),；,2(1)(3)(4),4,；,5,；,7,；,10,备用题,1.,设,C,是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,解,:,分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,计算,其中,L,为双纽线,解,:,在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,、,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,所求侧面积为：,线,5.,计算曲线积分,其中,为螺旋,的一段弧,.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,、,设均匀螺旋形弹簧,L,的方程为,(1),求它关于,z,轴的转动惯量,(2),求它的质心,.,解,:,设其密度为,(,常数,).,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,故质心坐标为,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,(2),L,的质量,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,由对称性知：,8,、,解,:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,