1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 可分离变量微分方程,例,解,原方程即,对上式两边积分，得原方程的通解,例,解,对上式两边积分，得原方程的通解,隐函数形式,经初等运算可得到原方程的通解为,你认为做完了没有？,原方程的解为,例,解,两边同时积分，得,故所求通解为,你认为还需要讨论吗？为什么？,因为只求通解，所以不必再讨论了。,例,解,原方程即,两边积分，得,故通解为,曲线族的包络。,工程技术中解决某些问题时，需要用到方程的奇解。,成正比,求,解:,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代
2、入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(,t,=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t,足够大时,例,二、齐次方程,齐次方程,变量分离方程,变量代换,代入原方程，得,注意：须将,u,代回.,例,解,于是，原方程化为,两边积分，得,即,例7,解,是齐次方程,例8,解,可得 ,OMA,=,OAM,=,例,在制造探照灯反射镜面时,解:,设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕,x,轴旋转而成.,过曲线上任意点,M,(,x,y,)作切线,M T,由光的反射定律:,入射角=反射角,取,x,轴平行于光线反射方向,从而,AO,=,OM,要求点光源的光
3、线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而,AO,于是得微分方程:,利用曲线的对称性,不妨设,y,0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),顶到底的距离为,h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为,d,代入通解表达式得,三、可化为齐次方程的方程,齐次方程,可化为齐次方程的方程,变量代换,变量分离方程,变量代换,三、可化为齐次方程的方程,齐次方程,可化为齐次方程的方程,变量代换,变量分离方程,变量代换,例,解,于是，原方程变为,联立方程组,解之，得,可化为齐次方程的,可化为齐次方程的,两边积分，得,即,你由这个例题的
4、解题过程想到什么了？,可化为齐次方程的方程,变量可分离方程,齐次方程,可化为齐次方程的方程,一阶齐线性方程,一阶非齐线性方程,伯努利方程,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,四、一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。,方程称为一阶齐线性方程。,方程称为一阶非齐线性方程。,习惯上，称,为方程,所对应的齐方程。,一阶齐线性方程的解,运用分离变量法，得,两边积分，得,故,表示一个,原函数,的解存在，且唯一，其通解为,例,解,故该一阶齐线性方程的通解为,套公式！,例,解,先求此一阶齐线性方程的通解：,故该初值问题的解为,变量可分离方程,齐次方程,可化为齐次方程的方程,一阶齐
5、线性方程,一阶非齐线性方程,伯努利方程,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,一阶非齐线性方程的解,比较两个方程：,请问，你有什么想法？,请问，你有什么想法？,我想：它们的解的形式应该差不多。但差了一点,什么东西呢？,行吗?!,怎么办？,故,即,上式两边积分，求出待定函数,以上的推导过程称为“常数变易法”。这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。,齐次方程通解,非齐次方程特解,即,例,解,所以，方程的通解为,例,解,不是线性方程,原方程可以改写为,这是一个以,y,为自变量的一阶非齐线性方程，其中,故原方程的通解为,解,例10,通解为,解,例1
6、2,两边求导，,得,通解为,于是,变量可分离方程,齐次方程,可化为齐次方程的方程,一阶齐线性方程,一阶非齐线性方程,伯努利方程,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,五、伯努利方程,形如,的方程称为伯努利方程。,代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程,于是，原方程的通解为,例,解,故,从而，原方程的通解为,变量可分离方程,齐次方程,可化为齐次方程的方程,一阶齐线性方程,一阶非齐线性方程,伯努利方程,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,变量可分离方程,齐次方程,可化为齐次方程的方程,一阶齐线性方程,一阶非齐线性方程,伯努利方程,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,例,解,变量代换,原方程即,于是，原方程化为,运用分离变量法，解得,故原方程的通解为,不是讲过的类型,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,
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