初一数学竞赛系列训练1答案.doc

初一数学竞赛系列训练1答案1、 设这两个数为a,b，由(a,b)=8得a=8m,b=8n，且(m,n)=1由a,b=96得m,n=12，又(m,n)=1，所以m=3，n=4或m=4，n=3所以a+b=8(m+n)=56，故选A2、 由题意知，b既能被4整除，又能被3整除，所以b能被12整除又60能被b整除，所以b12或60（1）若b12，则60 b5，因为5与4互质，5与3也互质，所以a、c中至少有一个含有因数5。若a含有因数5，则a20，又c3，所以a+b+c20+12+3=35若c含有因数5，则c15，又a4，所以a+b+c4+12+15=31取a=4，b=12，c=15，能构成三角形（2）若b60，则a+b+c6031故a+b+c的最小值为31。3、在自然数1，2，3，100中，能被2整除的数有50个；既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有6，12，18，96共16个，所以能被2整除但不能被3整除的数有50-16=34个，选B4、 七位数各位数字之和为32，不能被3整除，任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3整除，故选D5、1995除以6的余数是3，且a1995 (mod 6)，所以a除以6的余数也是3，故选C6、由19n+1410n+3 (mod 83) 知19n+14 (10n+3) 0 (mod 83) 9n+11 0 (mod 83) 当k=1时，n取最小值8。故选B7、由题意得n+1是3、4、5的公倍数，最小的n=345-1=598、y 整除6又整除15，y 整除3，所以y=1,3. 代入可得：(6，1，15)，(2，3，5)，(2，3，15)，(6，3，5)，(6，3，15)五组解。9、被4整除的最大三位数是996，所求四位数可表示成，9996x，x=3,于是所求的末位数是3。10、210，3102，41020，510200，6102000，71020005，810200056，9102000564，101020005640，1110200056405，于是最小11位数是1020005640511、3 2 n+8=9 n+8 3 2 n+81n+0 (mod 8)1 (mod 8) 3 2 n+8被8除的余数是112、设自然数N的末位数是a，则Na (mod 10)，从而N4a 4(mod 10)， 141 (mod 10)，246 (mod 10)，341 (mod 10)，446 (mod 10)，545 (mod 10)，646 (mod 10)，741 (mod 10)，846 (mod 10)，941 (mod 10)，1040 (mod 10) 14+24+34+44+19944+19954199(14+24+34+44+104)+ 14+24+34+44+54 199(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6+519933+197+96 (mod 10) 故14+24+34+44+19944+19954的末位数是613、设两个自然数是a,b (ab)，且(a,b)=d，并设a1=，b1=，则(a1，b1)=1，且a+b=d(a1+b1)=667=2329.因为23，29都是质数，所以d=1或d=23或d=29(1) 若d=1，则a,b=ab=120又因为a+b=667，所以a2-667a+120=0.但此方程中a不能是自然数，所以d1.(2) 若d=23，则有a1+b1=29a,b=23a1 ,b1=23 a1 b1，所以a1 b1=120 ，则，把120分解质因数，可得a1=5，从而b1=24。所以a=235=115，b=2324=552(3) 若d=29，则有a1+b1=23a,b=29a1 ,b1=29 a1 b1，所以a1 b1=120 ，则，把120分解质因数，可得a1=8，从而b1=15。所以a=298=232，b=2915=435综上所得，本题有两组解：115，552或232，43514、设这两个数为x,y，则x+y=40,且(x,y)+x,y=56，由于(x,y)x,y=xy，所以 设(x,y)=d，则x=da，y=db，且(a,b)=1，于是可得方程组 由于(40，56)=8，所以d=1,2,4,8 当d=1,2,4时方程组无整数解，所以d=8 d=8时，方程组变为，可得a=2,b=3或a=3,b=2，所以x=16或24，y=24或16，从而所求的两个数为16和2415、由于五位数能被12整除，而12=34，且3，4互质，所以3且4。3(4+H+9+7+H)，即3(2H+20)，经试算H可取2、5或8，又因为6，所以2，故H为偶数，所以H取2或8，又因为4，所以4，所以H取2，所以这个五位数为42972。16、a,b,c,d是互不相等的整数，则x-a,x-b,x-c,x-d也是互不相等的整数。(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9，所以x-a,x-b,x-c,x-d均为9的约数，而9=(-1)(+1)(-3)(+3)，则(x-a)+(x-b)+(x-c)+(x-d)= (-1)+(+1)+(-3)+ (+3)=0即 a+b+c+d=4x，所以4(a+b+c+d)17、993211，98722，9797，9625396是2533527的最大的两位约数。18、25=32-1(mod 11)，210(-1)21(mod 11)，2400=(210)40140=1(mod 11) 即2400被11除，余数是119、31980+41981=(32)990+41981=9990+419811990+(-1)1981=1+(-1)=0(mod 5) 所以31980+41981被5整除- 3 -