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二次函数基本概念和图像

1、 二次函数的定义：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项。
【基础练习】
【1】下列函数中，哪些是二次函数？
(1) (2) (3) （4） （5）
（6） （7） （8）
是二次函数的是： 。
【2】、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1） （2） （3）
【3】、若函数为二次函数，则m的值为 。
【典型例题】
例1．当k为何值时，函数为二次函数？

【基础练习】
1已知函数是二次函数，求m的值．
2、 二次函数的图像：
表达式
顶点坐标
对称轴
最值
图像

+c

y=ax²+bx+c

小知识点总结
a) 开口方向由a的确定：当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下；
b) 开口大小由a的绝对值确定：|a|越大开口越大；
c) 对称轴是直线x等于顶点的横坐标，最值是y等于顶点的纵坐标；
d) 已知图像如何判断a、b、c的符号
具体规则如下：a由图像开口确定（开口向上a＞0开口向下a＜0），c由图像与y轴的交点确定（交y正半轴c＞0，交y负半轴c＜0）
，b由对称轴和a共同来确定。

说明：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、的关系 ：
系数的符号
图像特征
a的符号
a>0.
抛物线开口向
a<0
抛物线开口向
b的符号
b>0.
抛物线对称轴在y 轴的 侧
b=0
抛物线对称轴是 轴
b<0
抛物线对称轴在y 轴的 侧
c的符号
c>0.
抛物线与y轴交于
C=0
抛物线与y轴交于
c<0
抛物线与y轴交于
的符号
>0.
抛物线与x 轴有 个交点
=0
抛物线与x 轴有 个交点
<0
抛物线与x 轴有 个交点

【典型例题】
y
x
o
例1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则：
a 0; b 0;c 0; 0。
【基础练习】
1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0.
0
y= 2x2
y
x
0
y= -2x2

2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0
3、 图像平移的问题：
（）的图像的图像的图像。
的图像的对称轴是直线x=-m，顶点坐标是（-m，k） 。
口诀：（m、k）正负左右上下移 （ m左加右减 k上加下减）
【典型例题】
1、由抛物线y=2x²向 平移 个单位可得到y= 2(x+1)2
2、函数y= -5(x -4)2的图象。可以由抛物线 向 平移 4 个单位而得到的。
3、对于函数，请回答下列问题：
（1）对于函数的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？
（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？

【基础练习】
1、对于二次函数，请回答下列问题：
①把函数的图像作怎样的平移变换，就能得到函数的图像？
②说出函数的图像的顶点坐标和对称轴。
把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．

二、 课前小测试：
1、使有意义的x的取值范围为（ ）
A B. C. D.
2、 下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B.经过城市某一个有交通信号灯的路口，遇到红灯
C.小伟掷六次骰子，每次向上的一面都是6点 D.度量三角形的内角和，结果为361°
3、 在一次游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来一模一样．小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）

A．黑桃Q B．梅花2 C．梅花6 D．方块9
4．下列事件是必然发生的事件的是（ ）
A．在地球上，上抛的篮球一定会下落 B.明天的气温一定经今天的高
C.中秋节晚上一定能看到月亮 D.某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定中奖一张
5．如图，点A、B、C都在⊙O上，（ ）
A.40° B.50° C.80° D.100°
6．下列根式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
7．用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
8．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9．如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A,B,E三个接触点，则该球的半径是（ ）cm
A．10 B．18 C．20 D．22
10.在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个不含0的9位数，让参与
者猜某商品的价格。被猜的价格是这个9位数中从左到右连在一起的某个4位
数。如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中任意猜一个，则猜中该商品价格的概率是（ ）

A. B. C. D.
三、 巩固练习：
1．当时，求抛物线的顶点所在的象限．

2. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．

3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．

4、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积。

5、 已知函数是二次函数，求m的值．

6、 已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

7、已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
8、用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

四、 课后练习：
1、抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____0时， y随着x的增大而增大； 在 侧，即x_____0时,y随着x的增大而减小；当x= 时，函数y最 值是____。
x
-1
1

y
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、二次函数y=－4x2+2x+的对称轴是直线__________．
4、已知点P(5，25)在抛物线y=ax2上，则当x=1时，y的值为__________．　
5、函数y=x2+2x－8与x轴的交点坐标是_________．
6、用配方法将二次函数化成的形式，那么y=_____________．
7、将y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
8、由y=2x2和y=2x2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x2+4x-5的图象可由y=2x2的图象向 _______平移________个单位，再向_______平移______个单位得到。
9、分析若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x=,对称，那么图象还必定经过哪一点？

10、(1) 若是二次函数，求m的值。
(2)已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值。

11、函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3交于点（1,b），求
　　（1）a和b的值；
　　（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
　　（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随着x的增大而增大；
　　（4）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积。
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