立体几何证明题资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,O,例2、,如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2：1，问在棱PC上是否存在一点F,使BF平面AEC?证明你的结论；,M,F,O,证明过程分析：,a,PO,PA,a,AO,a,a,平面,PAO,PO,平面,PAO,PA,a,A,a,O,P,三垂线定理,：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,结论汇总1：,板书证明过程,A,a,O,P,结论汇总2：,三垂线定理基本图形的特点分析,1:一面,2:四线,3:三垂直,线面垂直,线射垂直,线斜垂直,探究问题4,：,三垂线定理的图形有哪些特点？,（构成元素、三垂的解释）,P,C,B,A,例1 已知,P,是平面,ABC,外一点，,PA,平面,ABC,，,AC,BC,，,求证：,PC,BC,证明：,P,是平面,ABC,外一点,PA,平面,ABC,AC,是斜线,PC,在平面,ABC,上,的射影,BC,平面,ABC,且,AC,BC,由三垂线定理得,PC,BC,结论应用,：,线射垂直,线斜垂直,P,A,O,a,P,A,O,a,平面内的一条直,线,和平面的一条斜线在平面内的,射,影,垂直,平面内的一条直,线,和平面的一条,斜,线,垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一,条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,P,A,O,a,已知：,PA，PO,分,别是平面,的垂线和斜,线，,AO,是,PO,在平面,的射影,a,a,PO,求证：,a,AO,三垂线定理的逆定理,例1 已知：正方体中，,AC,是面对角线，,BD,是与,AC,异面的体对角线.,求证：,AC,BD,A,B,D,C,A,B,C,D,【变式练习1】,如图，,E,，,F,分别为直角三角形,ABC,的直角边,AC,和斜边,AB,的中点，沿,EF,将,AEF,折起到,A,1,EF,的位置，连结,A,1,B,，,A,1,C,.求证：,(1),EF,平面,A,1,EC,；,(2),AA,1,平面,A,1,BC,.,用线面垂直的性质,定理证明线线垂直,【证明】,如图，,ACB,90，,所以,BC,AC,.,又在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,CC,1,平面,ABC,，所以,BC,CC,1,.,而,AC,CC,1,C,，,所以,BC,平面,AA,1,C,1,C,，,所以,BC,AM,.,连结,A,1,C,.,可以证明Rt,ACM,Rt,AA,1,C,，所以,AM,A,1,C,.,而,A,1,C,BC,C,，所以,AM,平面,A,1,BC,，所以,A,1,B,AM,.,空间角的计算,一找二证三求解,例1 在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中.,（1）求直线A,1,B与直线CD所成角；,(2)求直线A,1,B和直线B,1,C 所成角,（3）求直线A,1,O和直线AD,1,所成的角.,（4）求直线A,1,C和直线AD所成的角的余弦值,D,1,A,B,A,1,C,B,1,C,1,D,O,直线与平面所成的角,线面角相关概念,P,斜线PA与平面,所成的角为,PAB,l,平面的斜线,A,斜足A,斜线PA在平面内的射影,垂足B,B,平面的垂线,1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角,2.平面的垂线与平面所成的角为直角,3.一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的0,0,角,一条直线与平面所成的角的取值范围是,例1 在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中.,（1）求直线A,1,B和平面ABCD所成的角；,(2)求直线A,1,B和平面A,1,B,1,CD所成的角.,（3）求直线A,1,0和平面ABCD所成的角.,D,1,A,B,A,1,C,B,1,C,1,D,O,例2 如图，AB为平面,的一条斜线，B为斜足，AO平面,，垂足为O，直线BC在平面,内，已知ABC=60，,OBC=45，,求斜线AB和平面所成的角.,A,B,C,O,D,一、二面角的定义及二面角的平面角,平面的一条直线把平面分为,两,部分，,其中的每一部分都叫做一个,半平面,。,从一条,直线出发的两个半平面所组,成的图形叫做,二面角,。,（1）,半平面,（2）,二面角,l,B,O,A,a,(3)二面角画法如下图,l,l,A,B,二面角,AB,l,二面角,l,二面角,CAB D,A,B,C,D,5,（4）二面角的记法,“面1棱面2”,上述变化过程中图形在变化，形成的“角度”的大小如何来确定？,B,。,O,A,(5),二面角的平面角,垂直于二面角的棱的任一平面,与两个半平面的交线所成的角叫做,二面角的平面角,。,从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做,二面角的平面角,。,二面角的平面角与,点,（或,垂直平面,）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。,B,。,O,A,B,1,。,O,1,A,1,二面角就是用它的,平面角,来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。,（注）,注意,二面角的平面角必须满足,：,3）,角的边都要垂直于二面角的棱,1）,角的顶点在棱上,2）,角的两边分别在两个面内,l,O,A,B,A,O,B,(6)二面角的范围：,0,。,180,。,（7）直二面角,平面角为直角的二面角叫做直二面角,O,A,B,二面角的平面角:,A,B,P,l,二面角的平面角必须满足,：,3）,角的两边都要垂直于二面角的棱,1）,角的顶点在棱上,2）,角的两边分别在两个面内,二面角的平面角的范围:,0,180,二面角的大小用它的平面角的大小来度量,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,A,1,B,1,P,1,注意:,(与顶点位置无关),APB=,A,1,P,1,B,1,一、几何法：,找出平面角，求解三角形,1、定义法:,以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则AOB就是此二面角的平面角,。,a,O,A,B,在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O，连结AO，则AOB就是二面角的平面角。,3、垂面法:,过二面角内一点A作AB 于B，作AC 于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面角的平面角。,aA,B,C,O,2、三垂线法:,A,B,O,a,例1 在正方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中.,（1）找出二面角A,1,-BD-A；,(2)找出二面角A,1,-BD-B,1,；.,（3）E是BB,1,的中点，找出平面A,1,DE与平面ABCD所成锐角,D,1,A,B,A,1,C,B,1,C,1,D,E,P,A,B,C,D,过E作EDPC于D，,则BDE就是此二面角的平面角,。,连结BD,，,过B作BEAC于E,，,E,ABC为正，BE=,在RtPAC中，E为AC中点，,则DE=,在,RtDEB中,tan BDE=,BDE=arctan,例1:已知正三角形ABC，PA面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。,三垂线法:,练习3：三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大小；（2）求二面角A-PC-B的大小。,P,A,B,C,D,E,若,ABC是PBC在平面ABC的投影，则二面角,满足：,求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。,m,n,如图：二面角的大小等于,-,2、平面法向量法:,2、平面法向量法:,求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。,m,n,如图：二面角的大小等于,例4:在底面是直角梯形的四棱锥,SABCD,中，,ABC=,90，,SA,面,ABCD,，,AD=,SA=AB=BC=,1，,求面,SCD,与面,SBA,所成的二面角的余弦值大小.,x,y,z,解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。,翻折问题,