定积分在几何学上的应用.ppt

四、四、旋转体的侧面积旋转体的侧面积(补充补充)二、体积二、体积第二节第二节一、一、平面图形的面积平面图形的面积三、三、平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六六章 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积1.直角坐标系情形直角坐标系情形一、一、平面图形的面积平面图形的面积解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗吗？解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积例例3.3.求椭圆求椭圆解解:利用对称性,所围图形的面积所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a=b 时得圆面积公式例例4.4.求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积.解解:2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应对应 从从 0 变变例例5 5.计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到到2 所围图形面积所围图形面积.解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积解解利用对称性知利用对称性知例.计算心形线计算心形线与圆所围图形的面积.解解:利用对称性,所求面积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1.旋转体的体积旋转体的体积xyo旋转体的体积为旋转体的体积为解解直线直线 方程为方程为例.计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积.解解:方法方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程则特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积解解解解补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中例 求曲线求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限 例 设设在 x0 时为连续的非负函数,且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积,证明:证证:利用柱壳法则故解解体积元素为体积元素为2、已知平行截面面积函数的立体体积设定轴为设定轴为x轴，轴，所给立体垂直于所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x),则对应于小区间则对应于小区间的体积元素为的体积元素为因此所求立体体积为因此所求立体体积为上连续上连续,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算体积也可用定积分来计算.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积三、平面曲线弧长三、平面曲线弧长定理定理:任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的.并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的.弧长元素弧长元素弧长弧长1、直角坐标情形、直角坐标情形曲线弧为曲线弧为弧长弧长2、参数方程情形、参数方程情形曲线弧为曲线弧为弧长弧长3.、极坐标情形、极坐标情形解解所求弧长为所求弧长为解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为根据对称性根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长例例1515.摆线摆线一拱一拱的弧长的弧长.解解:解解证证根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.解解例例.求连续曲线段求连续曲线段解解:的弧长的弧长.解解例.两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解解:下垂悬链线方程为四、旋转体的侧面积(补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:侧面积元素的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 注意:侧面积为例.计算圆计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S.解解:对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时,得球的表面积公式例.求由星形线求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S.解解:利用对称性绕 x 轴旋转 1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意:求弧长时积分上下限必须上大下小五、小结五、小结3.已知平行截面面面积函数的立体体积已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴:4.旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)绕 y 轴:(柱壳法)思考题思考题1思考题思考题1解答解答xyo两边同时对两边同时对 求导求导积分得积分得所以所求曲线为所以所求曲线为思考题思考题2解答解答交点交点立体体积立体体积思考题思考题3不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长解答解答思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.2.试用定积分求圆试用定积分求圆绕 x 轴上上半圆为下下求体积:提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S.方法2 用柱壳法用柱壳法说明说明:上式可变形为上上半圆为下下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).求侧面积:利用对称性上式也可写成上上半圆为下下它也反映了环面微元的另一种取法.练练 习习 题题1练习题练习题1答案答案练练 习习 题题2练习题练习题2答案答案练练 习习 题题3练习题练习题3答案答案备用题解：解：1.求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又故在区域分析曲线特点2.解解:与 x 轴所围面积由图形的对称性,也合于所求.为何值才能使与 x 轴围成的面积等故3.求曲线图形的公共部分的面积.解解：与所围成得所围区域的面积为设平面图形 A 由与所确定,求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积.提示：提示：选 x 为积分变量.旋转体的体积为4.若选 y 为积分变量,则