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八卦卦复数的图像和趣味性质
Trigram Complex Numbers, Images And Interesting Properties
何世强 Ho Sai Keung
提要：八卦可以以一个复数来表示，称为“卦复数”。卦复数和普通的复数一様，可以标示在坐标纸上；八卦卦点同在一直线，称为八卦卦线或 S 卦线。含这类卦线的图称为“卦线图”。八卦分阳卦和阴卦，这两类卦复类的和有一些有趣的性质。
Abstract: A trigram can be represented by a complex number, so-called ‘Linegram ﹝卦﹞ Complex Number’ (LCN) by the author. A Linegram Complex Number is just like an ordinary complex number which can be plotted on a graph paper. The eight trigram points lie on a straight line which is known as ‘Trigram Line’. A diagram with a trigram line (or other Linegram Line) is known as Linegram Line Diagram. There are four Yin Linegrams ﹝阴卦﹞ and four Yang Linegrams ﹝阳卦﹞ in the set of trigrams. When the Yin and Yang Linegrams are represented by LCNs, the sums of their LCNs have certain interesting properties respectively.
关键词：卦复数、八卦卦线、卦线图、阴卦和阳卦
Key Terms: Linegram Complex Number (LCN), Trigram Line, Trigram Line Diagram, Yin Linegrams and Yang Linegrams

很多人都知道易卦和 2 进制数学有关，因为当阳爻和阴爻分别以 1 和 0 代替时，又当易卦依卦序﹝所谓的“伏羲卦序”﹞排列时，以 1 和 0 代替的易卦便成为有次序的 2 进制数，所以便说“易卦和 2 进制数学有关”。
近世有很多学者曾经在这方面作出研究，但因为易卦有不同的爻数，换言之这些易卦所代表的 2 进制数有不同的位数，不同位数的 2 进制数经加或减﹝排除乘和除﹞的运算后所得的结果很难与易卦扯上关系，在这种情况下，易卦和 2 进制数学的关系便显得薄弱，所以很多学者只能局限在把易卦改写成 1 和 0 的领域内而无法向前迈进。
笔者经过多年的研究，易卦和 2 进制数的关系可以突破爻数限制的范畴，不论多少爻的卦﹝甚至 0 爻卦的太极﹞均可以以一个复数来表示，笔者称之为“易卦复数”﹝或简称为“卦复数”﹞，阳仪的卦复数是 1 + i，阴仪的卦复数是 2 ，i 是虚数单位 √ – 1 ，复数的实数部份是卦序﹝“伏羲卦序”﹞，虚数是卦的 0 1 表示法﹝即 2 进制数﹞所化成的 10 进制数，这两个数可以唯一地表示一个易卦。最重要的是易卦复数可以作有限度的运算。
现在以八卦为例，我们先用“0 1 表示法”来表达八卦。最下一爻的 0 或 1 排在最左，最上一爻的 0 或 1 排在最右。八卦的图如下所示﹝卦上的阿拉伯数目是卦序﹞：
(1) (2) (3) (4)
________ 1 ___ ___ 0 ________ 1 ___ ___ 0
________ 1 ________ 1 ___ ___ 0 ___ ___ 0
________ 1 ________ 1 ________ 1 ________ 1
乾【111】 兑【110】 离【101】 震【100】
10 进制数：7 10 进制数：6 10 进制数：5 10 进制数：4

(5) (6) (7) (8)
_____ 1 ___ ___ 0 ________ 1 ___ ___ 0
________ 1 ________ 1 ___ ___ 0 ___ ___ 0
___ ___ 0 ___ ___ 0 ___ ___ 0 ___ ___ 0
巽【011】 坎【010】 艮【001】 坤【000】
10 进制数：3 10 进制数：2 10 进制数：1 10 进制数：0
八卦的“0 1 表示法”﹝下标 ii 表示 2 进制﹞化为 10 进制数时可列式如下：
1. 乾 ： 111(ii) = 1 × + 1 × + 1 × = 7 (伏羲卦序号是 1)，
2. 兑： 110(ii) = 1 × + 1 × + 0 × = 6 ， (伏羲卦序号是 2)，
3. 离： 101(ii) = 1 × + 0 × + 1 × = 5， (伏羲卦序号是 3)，
4. 震： 100(ii) = 1 × + 0 × + 0 × = 4， (伏羲卦序号是 4)，
5. 巽： 011(ii) = 0 × + 1 × + 1 × = 3， (伏羲卦序号是 5)，
6. 坎： 010(ii) = 0 × + 1 × + 0 × = 2， (伏羲卦序号是 6)，
7. 艮： 001(ii) = 0 × + 0 × + 1 × = 1， (伏羲卦序号是 7)，
8. 坤： 000(ii) = 0 × + 0 × + 0 × = 0， (伏羲卦序号是 8)。
从上面的算式可以看出，伏羲八卦序号和该卦 2 进制数﹝“0 1 表示法”﹞所化成的 10 进制数的和必定是 8。这八卦的卦序的说法可能始于邵雍，宋朱熹沿用之而称之为“伏羲八卦次序”。朱熹引邵雍《观物外篇》曰：
乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。
从上面八式可知乾的 10 进制数最大，列第一，坤的 10 进制数最小，列最后。这些 10 进制数倒排，故《说卦传》曰：“易，逆数也。”，这个“逆数”的说法和 10 进制数的倒排不谋而合。
任何一易卦包括了两个数：一个是它的“伏羲卦序”，另外的一个是该卦以“0 1表示法”所对应的 10 进制数。这两个数可以确定唯一的易卦﹝只有卦序或只有该卦的 10 进制数不能决定一易卦﹞。
于是，八卦的复数可以唯一地表示如下表﹝卦序和10进制数见前﹞：
八卦
01表示法
卦复数
八卦
01表示法
卦复数
乾
111
1 + 7i
巽
011
5 + 3i
兑
110
2 + 6i
坎
010
6 + 2i
离
101
3 + 5i
艮
001
7 + i
震
100
4 + 4i
坤
000
8
上表卦复数的实部和虚部的和必定是8 ﹝即是，注意 3 是爻数﹞，亦可依次序表达为：
1 + (8 – 1)i、2 + (8 – 2)i、3 + (8 – 3)i、4 + (8 – 4)i、5 + (8 – 5)i、6 + (8 – 6)i、
7 + (8 – 7)i、8 + (8 – 8)i。
亦可写成：
1 + ( – 1)i、2 + ( – 2)i、3 + ( – 3)i、4 + ( – 4)i、5 + ( – 5)i、
6 + ( – 6)i、7 + ( – 7)i、8 + ( – 8)i。
上述的书写方式看来有点累赘，但是在卦复数的运算来说，在某些情况下，是须要写成上面的方式的。
八卦的10进制数是乾七、兑六、离五、震四、巽三、坎二、艮一与坤零，邵雍的《皇极经世‧观物外篇下》有类似记载：
乾七子，兑六子，离五子，震四子，巽三子，坎二子，艮一子，坤全阴故无子。
虽然邵雍所说的不是“10进制数”，而是指其下所“生”的卦﹝即乾之下有七卦，兑之下有六卦，其余可类推﹞，不过这种“下生卦数”与10进制数符合。《皇极经世‧观物外篇下》注曰：
「子」，云者或指所生之卦而言也。卦凡有八，乾一统七，兑二统六，离三统五，震四统四，巽五统三，坎六统二，艮七统一；子之数如此，至坤为全阴，后生卦，故云无子。
因为卦数有八，乾的下面有七卦，或说成“乾卦统领七卦”，这七卦算是乾的子卦，所以说“乾七子”；兑之下有六卦，或说成兑卦统领六卦，六卦算是兑的子卦，所以说“兑六子”，其余可类推。坤为全阴卦，准备生他卦﹝生爻数多一的卦，即生四爻的卦﹞，所以说无子卦。这些子卦的数目刚好就是该卦的 10 进制数，不过“统领”的说法比“生卦”的说法好。我们可得这样的结论：一易卦的 10 进制数等于它的子卦的数目。
假如卦复数的实部是横坐标 X 轴，虚部是纵坐标 Y 轴，那么一个卦复数便可 标示在坐标纸上。下面便是两仪、四象和八卦卦线图：

8i

乾 1 + 7i

Y
7i

兑 2 + 6i

6i

离 3 + 5i

轴
5i

震 4 + 4i

4i

太阳 1 + 3i

巽 5 + 3i

虚
3i

少阴 2 + 2i

坎 6 + 2i

数
2i

1 + i阳

少阳 3 + i

艮 7 + i

i

2 阴

太阴 4

坤 8

0
0
1
2
3
4
5
6
7
8

实

数

Ｘ
轴

太
两

四

八

极
仪

象

卦
两仪、四象和八卦卦线图

八卦又分为四阳卦和四阴卦。四阳卦是乾、坎、艮和震；乾代表7、坎2、艮1、震4；四阴卦是巽、离、坤和兑，而巽代表3、离5、坤0、兑6（这些数都是 01表示法所化成的 10 进制数，见前）；乾、坎、艮、震四数的和是14，巽、离、坤、兑的和亦是14，阴卦和阳卦刚好各占一半，由于两者的和都是14，这给人一种阴、阳实力均衡的印象。阴、阳实力均衡是一种共识，但是怎样去表达这种均衡而不分轩轾的现象？以文字表达可能须要长篇累牍，但以数目字表达显然简单得多。下图是朱熹《周易本义》列出的《文王八卦次序图》：

笔者认为上图已表达了阴阳的实力均衡，简单地说就是“男女平等”。谈到匹配方面，我们很容易想到，老父配老母，中男配中女，长男配长女，少男配少女；这样的匹配令两者的 10 进制数的和都是7，如下表所示：
阳卦
阴卦
和
乾
老父
7
坤
老母
0
7
震
长男
4
巽
长女
3
7
坎
中男
2
离
中女
5
7
艮
少男
1
兑
少女
6
7
和
14
和
14
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上述的匹配，特别是在数目字方面，笔者是觉得是奇妙的，因为7是一个奇特的数字。注意上表阴阳四卦的排列次序和《文王八卦次序图》相同，此图以乾和坤为首，其余三卦次序从右至左分别为震、坎、艮和巽、离、兑，这相当于上表的从上至下排列。
阳卦数有两个奇数﹝7和1﹞和两个偶数﹝4和2﹞，阴卦数也有两个奇数﹝3和5﹞和两个偶数﹝0和6，0算是偶数﹞，这也是一种奇妙的配对。
若老母0为极阴，增加3变长女，长女增加2变中女，中女增加1变少女；数目愈大，阴性越低，成反比。若老父7为极阳，减3变长男，长男减2变中男，中男减1变少男，即数目愈大，阳性越大，成正比，这是阳卦数和阴卦数的最大分别。
如果把上表的数目换成卦复数，我们可得下表：
阳卦
阴卦
和
乾
老父
1 + 7i
坤
老母
8 + 0i
9 + 7i
震
长男
4 + 4i
巽
长女
5 + 3i
9 + 7i
坎
中男
6 + 2i
离
中女
3 + 5i
9 + 7i
艮
少男
7 + i
兑
少女
2 + 6i
9 + 7i
和
18 + 14i
和
18 + 14i
36 + 28i
不难发觉，阳卦和阴卦的卦序和都是18﹝复数是18 + 14i﹞。乾坤、震巽、坎离和艮兑的卦序和都是9 ﹝卦复数是9 + 7i ﹞，阳卦卦序有两奇两偶，1、7和4、6，阴卦卦序也有两奇两偶，5、3和8、2。阳卦卦序从小至大，阴卦卦序从大至小，这是阳卦和阴卦的性质，也是笔者常常所说的“阳顺阴逆”。
笔者在上文说过阴阳的实力均衡可以以数目表达，另一方面，阴和阳是相反的，那么在数目字上又怎样表达？那就是阳卦顺排，阴卦逆排，即“阳顺阴逆”；在10进制数方面，阳卦逆而阴卦顺，这足以证明阴和阳是相反的。
以数目字去讨论八卦和探索阴和阳的均衡和相反，这种说法未必为传统学者所接受，但未尝不是笔者的新研习蹊径。

参考文献：
[1] 宋‧朱熹《周易本义》[M]。
[2] 宋‧邵雍《皇极经世‧观物外篇》[M]。
[3] 何世强《易学与数学》[M]‧香港‧中国哲学文化协进会‧1999。

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