平行四边形课外训练题(2)解答题参考答案.doc

平行四边形课外训练题(2)解答题参考答案
A
B
C
D
E
F

G
1.（2008山东青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE＝CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，
判断四边形E′BGD是什么特殊四边形？并说明理由．

解：（1）证明：∵四边形为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° ………………2分
∵CG＝CE，
∴△BCG≌△DCE. ………………4分
（2）答：四边形E′BGD是平行四边形
理由：∵△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′
∴CE＝AE′，
∵CG＝CE，
∴CG＝AE′，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴BE′＝DG，BE′∥DG，………………6分

2.（2008甘肃兰州）如图1，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
A
B
C
D
O
F
E
图1
（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；
如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．
（1）证明：当时，，又，
四边形为平行四边形．

（2）证明：四边形为平行四边形，
．
A
B
C
D
O
F
E
．
（3）四边形可以是菱形．
理由：如图，连接，由（2）知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形．
在中，，，又，， ，绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．

A
D
E
F
B
C
图
3.（2007甘肃兰州课改）如图所示，在中，分别以为边在的同侧作等边，等边，等边．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）
①当满足________条件时，四边形是矩形；
②当满足________条件时，四边形是菱形；
③当满足_______条件时，以为顶点的四边形不存在．

答案：（1）和都是等边三角形

又，

同理

四边形是平行四边形．
（2）① ② ③
4.（2008齐齐哈尔）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
B
B
M
B
C
N
C
N
M
C
N
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

解：（1）成立．
B
M
E
A
C
D
N
如图，把绕点顺时针，得到，
则可证得三点共线（图形画正确）
证明过程中，
证得：
证得：

（2））

5.(2008宁夏)如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点．
（1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△；
（2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的；
（3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形．
（1）证明：在正方形中，
无论点运动到上何处时，都有
= ∠=∠ =
∴△≌△
(2)解法一：△的面积恰好是正方形ABCD面积的时，
过点Q作⊥于,⊥于，则 =
==
∴=
由△ ∽△得 解得
∴时，△的面积是正方形面积的 .
解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，过点作⊥轴 于点，⊥轴于点．
== ∴=
∵点在正方形对角线上 ∴点的坐标为
∴ 过点（0，4），(两点的函数关系式为：

当时， ∴点的坐标为（2，0）
∴时，△的面积是正方形面积的．
（3）若△是等腰三角形，则有 =或=或=
①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知 =
此时△是等腰三角形
②当点与点重合时，点与点也重合，
此时=, △是等腰三角形
③解法一：如图，设点在边上运动到时，有=
∵ ∥ ∴∠=∠
又∵∠=∠ ∠=∠
∴∠=∠ ∴ ==
∵= = =4
∴，即当时，△是等腰三角形.
解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，设点在上运动到时，有=．
过点作⊥轴于点，⊥轴于点,则
在△中，，∠=45°
∴=°=
∴点的坐标为（，）
∴过、两点的函数关系式：+4
当=4时， ∴点的坐标为（4，8-4）．
∴当点在上运动到时，△是等腰三角形．
4