垂径定理ppt.ppt

问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？么结论？圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）X任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。观察并回答观察并回答（1）两条直径）两条直径AB、CD，CD平分平分AB吗？吗？（2）若把直径）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，向下平移，变成非直径的弦，弦弦AB是否一定被直径是否一定被直径CD平分？平分？思考：当非直径的弦思考：当非直径的弦AB与直径与直径CD有什么位置关系时，弦有什么位置关系时，弦AB有可能被直径有可能被直径CD平分？平分？OABCDE 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E.条件条件CD为直径为直径CDAB垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，为直径，AE=BE，AC=BC，AD=BD（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1 1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论结论AE=BEAC=BCAD=BD 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧CDAB引申定理引申定理l定理中的定理中的径径可以是可以是直径、半径、弦心距等过圆心直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：。从而得到垂径定理的变式：l一条直线具有：一条直线具有：平分弦平分弦 经过圆心经过圆心垂直于弦垂直于弦可推得可推得 平分弦所对的劣平分弦所对的劣（优）弧（优）弧ABCDEABDC条件条件CDCD为直径为直径结论结论AC=BCAD=BDCDABCDABAE=BE平分弦平分弦 的直径的直径垂直于弦，并且平分垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧（不是直径不是直径）垂径定理的推论垂径定理的推论:CDABCDAB吗？吗？(E)(E)合作探究合作探究“知二推三知二推三”(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(2(2）(3)(3)时时,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的推论垂径定理的推论 l如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.判断下列图形，能否使用判断下列图形，能否使用垂径定理垂径定理？定理辨析定理辨析双基训练双基训练判断：判断：()(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.解：如图，设半径为解：如图，设半径为R，在在tAODtAOD中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.D37.47.2例：赵州桥主桥拱的例：赵州桥主桥拱的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）AB=37.4,CD=7.2R R18.7R-7.2R-7.21如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径应用新知识应用新知识解：解：答：答：O的半径为的半径为5cm.在RtAOE中在在 O中中变式：变式：图中两圆为同心圆图中两圆为同心圆变式变式3：隐去（变式：隐去（变式1）中的大圆，得）中的大圆，得右图连接右图连接OA，OB，设，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？变式变式4：隐去（变式：隐去（变式1）中的大）中的大圆，得右图，连接圆，得右图，连接OC，OD，设，设OC=OD，AC、BD有什么关系有什么关系？为什么？为什么？变式变式1 1：ACAC与与BDBD有什么关系？有什么关系？变式变式2 2：ACBD依然成立吗依然成立吗 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA在直径是在直径是20cm的的 O中，中，AB的度数是的度数是60，那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是_弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则这弓形所在的圆的半径为这弓形所在的圆的半径为.已知已知P为为 O内一点内一点,且且OP=2cm,如果如果 O的的半径是半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等于点的最短的弦等于_小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理及其推论的图式 常用辅助线常用辅助线:垂直于弦的直径垂直于弦的直径某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过，过O 作作OC AB 于于D，交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO垂径定理的推论垂径定理的推论 l如果圆的如果圆的两条弦互相平行两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?l老师提示老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM 已知：已知：O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则。则AMBM，CMDM（垂（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）直平分弦的直径平分弦所对的弦）AMCM BM DMACBD.MCDABON讲解讲解如果圆的两条弦互相平如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？的弧相等吗？圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等试一试试一试P931212挑战自我挑战自我填一填填一填l1、判断：、判断：l 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对 的两条弧的两条弧.（）l平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧对的另一条弧.（）l经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）l圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.l弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）l2.已知：如图已知：如图,O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有:.l3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 的半径的半径OA.l4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGHMN已知：已知：ABAB和和CDCD是是O O内的两条平行弦，内的两条平行弦，AB=6cmAB=6cm，CD=8cmCD=8cm，O O的半径为的半径为5cm5cm，思考题：思考题：（1 1）请根据题意画出符合条件的图形）请根据题意画出符合条件的图形（2 2）求出）求出ABAB、与、与CDCD间的距离。间的距离。（1）（2）