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位似图形和圆与相似三角形的综合复习

1、位似图形的概念和特征
（1）、如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边平行，像这样的两个图形叫位似图形. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫位似比。
（2）特征：
1、位似图形一定是相似形，反之不一定。
2、判断位似图形时要注意首先它们必须是相似形，其次每一对对应点所在直线都经过同一点。
概念巩固
1、如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？
2.下列图形是否是位似图形？如果是请指出位似中心，如果不是请说明理由。

利用位似，可以将一个图形放大或缩小
（1如图，将四边形ABCD进行放大或者宿小。

2.位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
E
D
A
D
F
A
O
B
C
F
O
B
C
3.位似图形与中心对称图形有何关系？

4、位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
例、如图，△ABC三个顶点坐标分贝位A（2,3），B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应点的坐标的变化，你有什么发现？

5、相似三角形的证明
例1、 AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D．
(1)求证：△CDQ是等腰三角形；
(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．

例2、 △ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．
求证：(1)BD平分∠CBE；(2)AB·BF＝AF·DC．

例3、 ⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F作切线FG，G为切点，求证：EF＝FG．

三、典型例题：
例1. （北京市）在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为_____________。
例2、（芜湖市课改实验区）小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，
如果我俩各边的跷跷板再伸长相同的一段长度，那么我就能翘
到1米25，甚至更高！”
　　（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明．

四、巩固练习：
1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AD是△ABC高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则(1)AD2＝BD·CD(2)AD2＝AE·AB(3)AD2＝AF·AC(4)AD2＝AC2－AC·CF中正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是半圆的三等分点，则∠C＋∠E＋∠D＝( )

A．135° B．110° C．145° D．120°
4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D，连结AD，那么( )
A．∠BAD＋∠CAD＝90° B．∠BAD＞∠CAD
C．∠BAD＝∠CAD D．∠BAD＜∠CAD
5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，AB＝2，DB＝1，则DC＝______，AD＝______．
6．在Rt△ABC中，AD为斜边上的高，S△ABC＝4S△ABD，则AB∶BC＝______．
7．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E．若AB＝3，ED＝2，则BC的长为______．
8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
(Ⅰ)求∠AOD的度数；
(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．

9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．

五、课后练习
1、如图1，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝，则△ABC的边长为（　　　）
A.　3　　　B.　4　　C.　5　　D.　6
2、如图3，E、G、F、H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3　则EF∶GH等于（　　）
A.　2：3　　　B.　3：2　 C.　4：9　　　D.无法确定
3、如图，有一块三角形土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着池边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC上，若大楼的宽40米，则这个矩形的面积为 .
4、如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S△四边形ANME等于（　　　）
A.　1：5　　　B.　1：4 C.　2：5　　D.　2：7
5、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且＝BD·DC　则∠BCA的度数为　　　　．
6、如图7，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C 且AB=5 ，AC=4，AD=x ，AE=y，则y与x的关系式是( )
A. B. C. D.
7．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．
(1)求证：∠ACO＝∠BCD；
(2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．

8. 如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在
边长为1的小正方形的顶点上.
（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.

六、提高练习
1、 如图，已知△ABC的边AB＝，AC＝2，BC边上的高AD＝．
（1）求BC的长；
（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．

2.（山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．
（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为yA
B
C
M
N
P
图 1
O
，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？