坐标系与参数方程(10课时学案).doc

新课程·数学选修4-4坐标系与参数方程（学案）
第01课时 直角坐标系

一、 要点讲解
1．直角坐标系：
二、 知识梳理
1．直角坐标系：在直线上，当取定一个点为原点，并确定了___________________，就建立了_______．它使_________________________________________________．
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了_____________．它使_______________________________________________．
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了_____________．它使_______________________
________________________________．
2．建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
______________________________；反之，_______________________________________．
3．确定点的位置，就是求出__________________________________．
4．解析法解决实际问题的一般步骤是：_____________________________________________．
三、 例题讲解
例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点．

例2 已知B村位于A村的正西方1公里处，原计划经过B村沿着北偏东的方向设一条地下管线m．但在A村的西北方向400米出，发现一古代文物遗址W．根据初步勘探的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗?

例3 已知Q（a，b），分别按下列条件求出P 的坐标．
(1) P是点Q 关于点Mm，n）的对称点；
(2) P是点Q 关于直线l:x－y+4 = 0的对称点（Q不在直线l上）．

四、 巩固练习
1． 已知等腰梯形的上、下底边长分别为12和24，腰长为10，选择适当的坐标系并表示出它的顶点坐标以及计算其对角线的长．

2． 在空间直角坐标系中，求点A关于下列条件对称的点的坐标．
（1）关于原点对称；
（2）关于点对称；
（3）关于坐标平面xOy对称；
（4）关于z轴对称．

3． 据气象台预报：在A市正东方300km的B处有一台风中心形成，并以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受到其影响．问：从现在起经过多长时间，台风将影响A市，持续时间多长？

图1
图2
4． 如图1，一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60m，A，C间距离为200m，B，D间距离为250m，C，D间距离为2000m，E，F间距离为10m，P点与A点间，Q点与B点间分别用直线式桥索相连结，立柱PC，QD间可以近似看做是抛物线式钢索PEQ相连结．现有一只江鸥从A点沿着钢索AP，PEQ，QB走向B点，试写出从A点走到B点江鸥距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系．
小明采用先建立直角坐标系，再求关系式的方法．他的做法是：如图2，以A为原点，桥面AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系，则A，C，P( )，E( )，D，Q( )，B．请你先把前面没有写全的坐标补全，然后在小明已建立的直角坐标系下完整地解决本题．

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第02课时 极坐标系

一、 要点讲解
1．极坐标系：
二、 知识梳理
1．极坐标系：在平面上取一个定点O，______________________________________________
__________________________________这样就建立了一个极坐标系．其中O称为________，射线OX称为________．
2．极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用r表示__________________，用q表示_________________________，r叫做点M的__________，q叫做点M的________，有序数对____________就叫做M的极坐标．
特别强调：由极径的意义可知r≥0；当极角q的取值范围是[0，2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标（r，q）建立_____________关系．我们约定，极点的极坐标是极径r = 0，极角可取任意角．
3．负极径的规定：在极坐标系中，极径r允许取负值，极角q也可以取任意的正角或负角．
当r＜0时，点M（r，q）位于___________________________，且___________．M（r，q）也可以表示为 ．
注意：这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系．
4．极坐标与直角坐标的互化：(1) 互化公式的三个前提条件:
① _________________________________； ② ___________________________________；
③ _________________________________．
(2)设点P的直角坐标为，它的极坐标为，则互化公式为：__________________．
三、 例题讲解
例4 写出下图中各点的极坐标．

例5 在极坐标系中，
（1）已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；
（2）已知M的极坐标为（r，q）且q = ，r，说明满足上述条件的点M 的位置．

例6 已知Q（r，q），分别按下列条件求出点P 的极坐标．
(1) P是点Q关于极点O的对称点；(2) P是点Q关于直线的对称点；
(3) P是点Q关于极轴的对称点．

例7 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标化成极坐标．

四、 巩固练习
5． 在极坐标系中，作出下列各点，并计算下列各线段的长：AB = _______，AC = ________，AD = _______，BC = ________，BD = ________．

6． 将下列各点的极坐标化为直角坐标．
： ：
： ：

7． 将下列各点的直角坐标化为极坐标．
： ：
： ：

8． 设点，直线为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴、直线、极点的对称点的极坐标（限定）．

9． 若的的三个顶点为，试判断三角形的形状．

第03课时 球坐标系与柱坐标系
一、 要点讲解
1．球坐标系：
2．柱坐标系：
二、 知识梳理
1．球坐标系：在空间任取一点O作为_____，从O引_________________________________，再规定________________________________________________，这样就建立了一个球坐标系．
设P是空间任意一点，用r表示OP的长度，表示以OZ为始边，OP为终边的角，表示半平面XOZ到半平面POZ的角．那么，__________________就称为点P的球坐标．这里，r是______，相当于_______，相当于________．当≥0，0≤≤，0≤＜2时，空间的点（除直线OZ上的点）与有序数组（，）建立一一对应关系．

空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：_____________________．
2．柱坐标系：在平面极坐标系的基础上，增加______________________，可得空间柱坐标系．
设P是空间任意一点，P在过O且垂直于OZ轴的平面上的射影为Q，取OQ = ρ，，QP = z．那么，点P的柱坐标为_____________．当ρ≥0，0≤θ<2π， z∈R时，空间的点（除直线OZ上的点）与有序数组(ρ，θ，z)（）建立一一对应关系．空间点P的直角坐标

x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，Z)之间的变换关系为：________________．
三、 例题讲解
例8 (1)建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点；
(2)建立适当的柱坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点．

例9 (1)将点M的球坐标化为直角坐标；
(2)点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度．

例10 (1)球坐标满足方程r = 3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程；
(2)柱坐标满足方程 = 2的点所构成的图形是什么?

四、 巩固练习
10． (1)将下列各点的球坐标化为直角坐标．，，，

(2)将下列各点的直角坐标化为球坐标．，，，

11． (1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标．，，，

(2)将下列各点的直角坐标化为柱坐标．，，，

12． 在球坐标系中，求与两点的距离．

13． 柱坐标满足方程和方程的点所构成的图形分别是什么？

第04课时 曲线的极坐标方程的意义

一、 要点讲解
1．极坐标方程的意义：
2．简单图形的极坐标方程：
3．极坐标方程与直角坐标方程的互化：
二、 知识梳理
1．曲线的极坐标方程：一般地，如果________________________________________________；反之，_______________________________，那么这个方程称为_____________________，这条曲线称为__________________________．
2．求曲线极坐标方程的基本步骤与直角坐标系中求曲线方程的基本步骤相同，即：
(1)___________________； (2)_______________________； (3)______________________
(4)___________________； (5)_______________________．
三、 例题讲解
例11 求经过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程．

例12 求圆心在且过极点的圆的极坐标方程．

例13 如图，AB是半径为1的圆的一条直径，C是此圆上异于A的一动点，作射线AC，在AC上存在点P，使得AP·AC = 1．试建立适当的极坐标系，并求动点P在所建立的坐标系下的方程．

例14 (1)化直角坐标方程为极坐标方程；
(2)化直角坐标方程为极坐标方程；
(3)化极坐标方程为直角坐标方程；
(4)化极坐标方程为直角坐标方程．

四、 巩固练习
14． 已知方程是曲线C的极坐标方程，那么点的坐标适合方程是点P在曲线C上的___________条件．

15． 画出极坐标方程和表示的图形．

16． 按下列条件写出直线l的极坐标方程：
(1)经过极点，且极轴绕极点逆时针旋转到直线l的最小正角是；

(2)经过点，且垂直于极轴的直线l；

(3)经过点，且平行于极轴的直线l；

(4)经过点，且倾斜角是的直线l．

17． 按下列条件写出圆的极坐标方程：
(1)以为圆心，2为半径的圆；

(2)以为圆心，4为半径的圆；

(3)以为圆心，且过极点的圆；

(4)以为圆心，1为半径的圆．

18． 在极坐标系中，点P到极点的距离等于它到点的距离，求动点P的轨迹的极坐标方程．

第05课时 常见曲线的极坐标方程
一、 要点讲解
1．常见曲线的极坐标方程：
2．极坐标方程与直角坐标方程的互化：
二、 知识梳理
1．直线的极坐标方程：若直线经过且极轴到此直线的角为，则直线的极坐标方程为_________________________________．特别地，几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1) 直线过极点：_____
(2) 直线过点，且垂直于极轴：______________；
(3) 直线过点，且平行于极轴：______________．
2．圆的极坐标方程：若圆心的坐标为，半径为r，则圆的极坐标方程为_____________．
特别地，几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1) 当圆心位于极点，则圆的极坐标方程是：_________________；
(2) 当圆心位于，则圆的极坐标方程是：_______________；
(3) 当圆心位于，则圆的极坐标方程是：_______________．
3．圆锥曲线的极坐标方程：设定点F到定直线l的距离为p，以F为极点，极轴与直线l重合建立极坐标系，则到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程为:
____________________．说明：(1)常数e表示曲线的离心率，p表示焦点到准线的距离；
(2)当时，方程表示__________；
当时，方程表示______________；
当时，方程表示_____________．
4．曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化关系：___________________________________．
三、 例题讲解
例15 如图，在圆心的极坐标为，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．

例16 已知直线和圆，判断直线和圆的位置关系．

例17 2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道．若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程．

例18 求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．

四、 巩固练习
19． 椭圆的长轴长 ．

20． 在极坐标系中，点P到直线的距离等于 ．

21． 求过圆的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程．

22． 已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是和（a是非零常数）．
(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为，求a的值．

23． 已知圆，直线，过极点作射线交圆于点，交直线于点，当射线以极点为中心转动时，求线段的中点的轨迹方程．

第06课时 平面直角坐标系中的平移变换

一、 要点讲解
1．坐标系的有关概念：
2．直角坐标系中的平移变换：
二、 知识梳理
1．平面直角坐标系中的平移变换：在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移．若以向量表示移动的方向和长度，我们也称图形F按向量平移．在平面直角坐标系中，设图形F上任意一点P的坐标为，向量，平移后
的对应点为，则有平移变换公式：___________________，或表示为：_____________．
因此，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由_________________所确定的变换是平移变换．
2．平移变换的特点：只改变图形的__________，不改变____________．即在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变．
三、 例题讲解
例19 （1）已知点按向量平移至点Q，求点Q的坐标；
（2）已知点按向量平移后的对应点，求向量；
（3）求直线按向量平移后的方程．

例20 说明方程表示什么曲线．

例21 (1)椭圆的两个焦点坐标是 ；
(2)圆锥曲线的右准线方程为 ；
(3)抛物线的焦点坐标是 ．

四、 巩固练习
24． 求直线按向量平移后的方程．

25． 直线按向量平移之后所得的曲线方程为，求平移向量．

26． 利用平移变换将曲线的方程化为标准方程，并写出平移向量．

27． 求抛物线的焦点坐标及其准线方程．

28． 已知圆按向量平移后的方程为，求过点的圆的切线按向量平移后的方程．

第07课时 平面直角坐标系中的伸缩变换
一、 要点讲解
1．坐标系的有关概念：
2．平面直角坐标系中的伸缩变换：
二、 知识梳理
1．平面直角坐标系中的伸缩变换：一般地，由所确定的伸缩变换，是按_____
___________________________________________________，即曲线上所有点的_______不变，____________变为原来的倍（这里是变换前的点，是变换后的点）．
由所确定的伸缩变换，是按___________________________________________________
_______________________，即____________________________________________________（这里是变换前的点，是变换后的点）．
由所确定的伸缩变换，是曲线上所有点的横坐标、纵坐标同时变为原来的倍．
2．伸缩变换的特点：在伸缩变换作用下，直线变为_______．因此，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变．
三、 例题讲解
例22 对下列曲线向着轴进行伸缩变换，伸缩系数．
(1)； (2)．

例23 圆向轴均匀压缩，伸缩系数为．
(1)求压缩后的曲线的方程；
(2)求圆过点的切线压缩后的直线的方程，并证明与相切．

例24 设是与的中点，经过伸缩变换后，它们分别为，求证：是的中点．

四、 巩固练习
29． 求直线按伸缩系数3向着轴作伸缩变换后的曲线方程．

30． 写出在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换．

31． 设计一个伸缩变换，将椭圆变换成单位圆．

32． 已知曲线．
(1)求曲线在变换的作用下所得的曲线的方程；
(2)若曲线在变换的作用下变为曲线，求曲线的方程．

33． 已知点是的重心，经过按伸缩系数向着轴（或轴）的伸缩变换后，得到点和，能判断是的重心吗？

第08课时 参数方程的意义
一、 要点讲解
1．参数方程：
2．直线、圆及椭圆的参数方程：
二、 知识梳理
1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点P的坐标和都
可以表示为某个变量的函数________，反过来，对于的每个允许值，由函数式__________
__________________________________，那么此方程叫做曲线C的参数方程，联系变量，的变量叫做参变数，简称参数．
2．参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于_____________
___________________________________，参数方程与一般方程同等地描述了曲线．参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标．
3．求曲线的参数方程的一般步骤：
（1）________________________________________________； （2）__________________；
（3）__________________________________________________________________________；
（4）__________________________________________________________________________．
三、 例题讲解
例25 以O为圆心，分别以a、b为半径（）作两个圆，自O作一条射线分别交两圆于M、N两点，自M作，垂足为T，自N作，垂足为P，求点P的轨迹的参数方程．

例26 在平面直角坐标系xOy中，动圆的圆心为．(1)求点P的轨迹方程，并确定它是什么曲线；(2)求的取值范围．

例27 设直线的参数方程是（为参数），椭圆E的参数方程是（是参数）．是否存在常数，使得对于任意的的值来说，直线与椭圆E总有公共点？若存在，请求出常数的取值范围；若不存在，请说明理由．

四、 巩固练习
34． 方程（为参数）是曲线的参数方程吗？____（填“是”或“否”）；它所表示的曲线的特点是_________________________．

35． 已知椭圆(为参数)上一点P．求：
（1）时对应的点P的坐标； （2）直线OP的斜率．

36． 已知曲线C的方程是，求当变化时，曲线C的中心的轨迹方程．

37． 过抛物线的顶点作两条互相垂直的弦OA，OB，以弦OA的斜率为参数，求弦AB的中点M的轨迹的参数方程．

38． 以椭圆的长轴的左端点与椭圆上任一点连线的斜率为参数，将椭圆方程化成参数方程．

第09课时 参数方程与普通方程的互化

一、 要点讲解
1．参数方程与普通方程的互化：
二、 知识梳理
1．消去参数方程中的_________就得到普通方程，但要注意到普通方程中变量x，y的取值范围应和______________________________一致．
2．消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑，主要的消参方法有：
(1)___________________________________________________________________________．
(2)___________________________________________________________________________．
(3)___________________________________________________________________________．
(4)___________________________________________________________________________．
三、 例题讲解
例28 将下列参数方程化为普通方程，并指出它表示的曲线．
(1)（为参数）；
(2)（为参数）；
(3)(t为参数)；
(4)，；
(5)（a、b为非零常数，t为参数）．

例29 (1)已知直线过点，且倾斜角为，写出直线的普通方程，并选择适当的参数将它化为参数方程；
(2) 选择适当的参数，将圆的方程化为参数方程．

例30 已知曲线（为参数），（为参数）．
(1)请将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若上的点P对应的参数为，Q为上的动点，求PQ中点M到直线（t为参数）距离的最小值．

四、 巩固练习
39． 若，则动点所确定的曲线是____________________．

40． 方程表示的曲线是 ．

41． 将下列参数方程化为普通方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
42． 设点P（x，y）是椭圆上的动点，求xy的最大值．

43． 若圆M和圆N：（为参数）关于直线l：（为参数）对称，则圆M的方程为____________________．

第10课时 参数方程的应用

一、 要点讲解
1．参数方程的应用：
二、 知识梳理
1．直线参数方程的常见形式：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：______________（t为参数）．其中参数t的几何意义是____________________且表示的长度．
2．圆的参数方程的常见形式：圆心在（a，b），半径为r的圆的参数方程为：_________________（为参数）．其中参数的几何意义是______________________________________________
___________________________________．
3．椭圆的参数方程常见形式：椭圆的中心在原点，半长轴长为a，半短轴长为b的参数方程
为：____________________（为参数）．
三、 例题讲解
例31 已知M是椭圆上在第一象限的点，A（a，0）和B(0，b)是椭圆上的两个顶点，O为原点，求四边形MABO的面积的最大值．

例32 已知中，，AC = 8，BC = 6，P为它内切圆I上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值与最小值．

例33 已知圆O半径为1，P是圆上动点，Q（4，0）是轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹方程．

四、 巩固练习
44． 求直线（是参数）的倾斜角．

45． 椭圆的内接矩形的最大面积是__________．

46． 求圆被圆截得的劣弧长．

47． 若满足，且恒成立，则的范围是 ．

48． 求证：不论t如何变化，方程y2－2x－6ysint－9cos2t+6cost+11 = 0都表示顶点在同一椭圆上的抛物线．