向量积数量积混合积-高等数学演示教学.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数量积 向量积,*,混合积,第,七,章,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1.定义,设向量,的夹角为,称,记作,数量积,(点积).,引例.,设一物体在常力,F,作用下,位移为,s,则力,F,所做的功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,故,2.性质,为两个非零向量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,事实上,当,时,显然成立;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,证明三角形余弦定理,证:,则,如图.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,已知三点,AMB,.,解:,则,求,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为,).,求单位时间内流过该平面域的流体的质量,P,(流体密度,例3.,设均匀流速为,的流体流过一个面积为,A,的平,面域,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,为单位向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、两向量的向量积,引例.,设,O,为杠杆,L的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,矩是一个向量,M,:,的力,F,作用在杠杆的,P,点上,则力,F,作用在杠杆上的力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.定义,定义,向量,方向:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,称,引例中的力矩,思考:,右图三角形面积,S,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.性质,为非零向量,则,3.运算律,(2)分配律,(3)结合律,(证明略),证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.向量积的坐标表示式,设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量积的行列式计算法,(行列式计算见 P339P342),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,已知三点,角形,ABC,的面积,解:,如图所示,求三,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一点,M,的线速度,例5.,设刚体以等角速度,绕,l,轴旋转,导出刚体上,的表示式.,解:,在轴,l,上引进一个角速度向量,使,其,在,l,上任取一点,O,作,它与,则,点,M,离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,*三、,向量的混合积,1.定义,已知三向量,称数量,混合积,.,记作,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.混合积的坐标表示,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.性质,(1)三个非零向量,共面的充要条件是,(2)轮换对称性:,(可用三阶行列式推出),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,已知一四面体的顶点,4),求该四面体体积.,解:,已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,证明四点,共面.,解:,因,故,A,B,C,D,四点共面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,混合积:,2.向量关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设,计算,并求,夹角,的正弦与余弦.,答案:,2.用向量方法证明正弦定理:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,由三角形面积公式,所以,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P310 3,4,6,7,9,(1);(2),10,12,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,已知向量,的夹角,且,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在顶点为,三角形中,求,AC,边上的高,BD,.,解：,三角形,ABC,的面积为,2.,而,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,