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竞赛讲座27
－函 数
1.函数的基本概念
  一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.
  (1)求函数的定义域
  例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数

  求自变量取值范围.
  解
  -2＜x＜-1，或-1＜x＜0，或0＜x＜2，或2＜x≤3.或者写成-2＜x≤3，且x≠0，2.
  例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a＞0).
  解   由
  若0＜a＜时x∈[a,1-a];
  若a＞时,函数关系不存在.
  (2)关于对应法则
  若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面.
  例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式，对所有实数x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数x，求f(x2-1).
  分析  若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法.
  ①配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3
  =(x2+1)2+3(x2+1)-1，
  ∴f(x)=x2+3x-1，
  ∴f(x2-1)=x2-1)2+3(x2-1)-1
  =x4+x2-3.
  ②换元法  令  x2+1=t，则x2=t-1.
  由f(x2+1)=x4+5x2+3有
  f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1
  ∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1
  =x4+x2-3.
  例4  (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值.
  解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)，
  f(x+1)=2x+1［a(x+1)2+b(x+1)+c］
        =2·2x［(ax2+bx+c)+2ax+a+b］
        =2f(x)+2·2x(2ax+a+b)
  由f(x+1)-f(x)=2x·x2有
  2x(ax2+bx+c)+2·2x［2ax+a+b］=2x·x2，
  在上式中，
  令x=0得  2a+2b+c=0；①
  令x=1得  7a+3b+c=0；②
  令x=2得  14a+4b+c=0.③
  由①，②，③解出  a=1，b=-4，c=6，
  ∴      a+b+c=3.
  (3)关于函数方程
  这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程.
  例5  对于一切实数x，y，函数满足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988).
  解  ∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1.
  例6  (第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数(  ).
  (A)恰有一个  (B)恰有两个   (C)不存在  (D)有无穷多个，但并非一切非零实数   (E)是一非零实数
  解    f(x)+2f=3x.①
  以换x得  f+2f(x)=  ②
  由①，②两式消去f得3f(x)=-3x，
  ∴f(x)=  -x.③
  又由f(x)=f(-x)，将③代入得
  -x=+x，
  即     -2x=0，2-x2=0，
  ∴x=±.故应选(B).
  (4)求函数值
  例7(1986年北京高一竞赛题)
  f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986，
  求f［-1］.
  解  设,则2t+1=,
  即2t2+2t=55.
  ∴2t5+2t453t3-57t+54
  =t3(2t2+2t)-53t3-57t+54
  =2t3+2t2-2t2-57t+54
  =55t-2t2-57t+54
  =-2t2-2t+54=-1.
  ∴f()=(-1)1986=1.
  2.正比便函数、反比便函数及一次函数
  例8  (1987年浙江省初中竞赛题)已知y=y1+，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为19.求y与变量x的函数关系式.
  解  设y1=k1x，y2=(k1，k2均不为零)，
  则   y=y1+=k1x+.
  将x=2，x=3代入y=y1+得

  ∴   y=5x+
  例9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b(a≠0)有一组对应值x=,y=0.试证y=ax+b不能有二组以上的有理数的对应值.
  证明  若y=ax+b存在两组不同的有理数对应值(x1，y1)，(x2，y2)，而函数式为y=a(x-)，
  故
  ∵a≠0，消去a可得(y2-y1)=x1y2-x2y1.
  ∵x1y2-x2y1是有理数.
  ∴y2-y1=0，即y1=y2，
  ∴x1y1-x2y1=0.
  即(x1-x2)y1=0.
  若y1=0，则x1=，但这与假设矛盾，故不可能.
  ∴y1≠0，从而x1=x2也不可能.
  ∴y=ax+b不能有两组以上的有理数的对应值.
  3.二次函数
  关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题.
  例10(1987年浙江初中数学竞赛题)设二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b)，其中a，b，c是三角形的三边，且b≥a,b≥c.已知x=-这个二次函数有最小值为-，求△ABC三内角A、B、C的度数.
  解散 由题设，二次函数图象的顶点坐标是
  （-，-），即（）.
  于是
  ①②
  由①得a+b=2c，
  代入②得（b-c）+（b-a）=0.
  ∵b≥a,b≥cb-c=0,b-a=0,
  即 a=b=c.△ABC为正三角形,A=B=C=60°.
  例11 (1989年全国初中数学竞赛题)如图31-1,△ABC中,D、E分别是边BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3,如果△ABC,△EBD,△ADC的周长依次为m,m1,m2,证明:
  证明  由已知可得DE∥AC，进而
  △EBD∽△ABC∽△DAC.    ①
  ∴②
  ③
  ∴
  于是有

  在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的.

  4.其它
  下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题.
  例12 (1978年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为a的正三角形中,设点P、Q、R在边BC,CA,AB上运动,并保持的关系,设，△PQR的面积为S.
  (1)用x、y、z表示S；（2）求S的最大值；
  （3）求S取最大值时，、、的值.
  解（1）S=S△ABC-(S△AQR+S△BRP+S△CPQ).
  ∵S△ABC=a2，
  S△AQR=z（a-y）sin60°
  =z(a-y).
  同样S△BRP=x·(a-z),
  S△CPQ=y(a-x).
  ∴S=a2-[z(a-y)+x(a-z)+y(a-x)]
  =a2-a(x+y+z)+ 
  (yz+yx+xy)
  =a2-a2+(yz+yx+xy)
  =(yz+yx+xy).                   ①
  （2）将z=a-x-y代入①消去z得
  S=[(a-x-y)(x+y)+xy]
  =-[x2+(y-a)y+y2-ay],
  ∴S=-)
  ≤
  当x+时，上式取等号，
  即x=y=z=时，Smax=a2，
  （3）根据（2），当S取最大值时，x=y=z=.
  在△CPQ内，CQ=，CP=.由余弦定理得

  最后，我们把视线转向分段函数的极值问题.

  例13（1968～1969年波兰竞赛题）已知两两互异的实数a1，a2，…，an.求由式子（x为实数）y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|所定义的函数的最小值.
  解 我们首先研究一个简单的事实：
  设a＜b，则
  u=|x-a|+|x-b|=
  u在a≤x≤b上每一点达到最小值:
  -a+b.                         ①
  下面我们来研究原命题:对a1,a2,…，an重新按从小到大排序为a1′,a2′,…an′.
  于是，当n为偶数，即n=2m时，将原函数重新记为
  y=（|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|
  +…+|x-am′|+|x-a′m+1）.
  令y=|x-a′i|+|x-a′n+1-i|,由①,它在ai≤x≤an+i上取最小值-ai+an+1-i.
  又∵每一个区间都包含着下一个区间，即[a1,an] 
  [a2,an-1]…[am，am-1]（“”读作包含，如AB，读作A包含B），因此它们的公共区间为[am，am+1].由于在区间[am，am+1]每点上所有yi都取常数最小值，为了方便令x=am或x=am+1于是
  y最小值=-a1+an-a2+an-1+…-am+am+1
  =-a1-a2-…-am+am+1+am+2+…+an.
  当n为奇数时，将原函数记为
  y=（|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|）
  +…+（|x-am′|+|x-a′m+2|）+|x-a′m+1|.
  类似上面的讨论，当x=am+1时，
  y最小值=-a1-a2-…-am+am+2+am+3+…+an.
  练习三十一
  1.选择题
  （1）（1989年全国初中数学竞赛题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子的个数为（  ）.
  （A）2个  （B）3个   （C）4个  （D）4个以上

  （2）曲线|y|=x2-1的图象（实线部分）大致形状是（  ）.

  （3）（1984年全国竞赛题）若则下列等式正确的是（  ）.
  （A）F（-2-x）=-1-F（x）   （B）
  （C）F（x-1）=F（x）       （D）F（F（x））=-x
  2.填空题
  （1）x，y为实数，.则x+xy+x2y的值是_________.
  （2）（据1990年全国初中竞赛题改）方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是实数)有两个实根α、β,且0＜α＜1,1＜β＜2,那么k的取值范围是______.
  3.已知f(a+b)=f(a)+f(b),且f(1)=1.
  求的值.
  4.已知函数y=|x-1|+|x-3|+.试求使y值恒等于常数的x值范围.
  5.(1983年全国竞赛题)已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(x)≤-1,-1≤f(2)≤5.求f(3)的范围.
  6.已知0≤x≤1,0≤y≤1,y-x≥,且x+y+z=1,求函数W=2x+5y+4z的最大、最小值.
  7.（1987年浙江初中竞赛题）二次函数f(x)=ax2+bx+c其中a≠0,且a、b、c为实数.对某一常数t，如有af（t）＜0,试证:f(x)有不同的两个实数根，其中一个实根比t小，另一实根比t大.
  8.（浙江初中竞赛题）函数f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(4-x).若方程f(x)=0恰有三个不同的实根，求这些实根的和是多少？

  9.（1985年江苏东台初中数学竞赛题）若z2-2mz+m+6=0的二实数根为a、b，试求(a-1)2+(b-1)2的最小值.
  10.（1983年重庆初中数学竞赛题）等边△ABC的边长为a有三个动点P、Q、R分别同时从A、B、C出发沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度作匀速直线运动.已知P点由A到B需1秒，Q点从B到C需2秒，R点由C到A需3秒，在一秒钟内，问开始运动多少时间△PQR的面积最小？最小面积是多少？）
  11.(1985年苏州初中数学竞赛题)如图,凸四边形ABCD边长依次为2、2、3、1.问在四边形ABCD变形为各种凸四边形的过程中,BD的长的变化范围是什么?B到DC距离的变化范围又是什么?

  练习三十一
  １．Ａ．　　Ｄ．　　Ａ．　
  ２．
  ３．
  ４．当
  ５．①②（１）＋（２）得③（２）＋（３）得－１
  ６．由z=1-x-y,∴W=4-2x+y．要求Ｗ的最大、最小值，只需求y-2x的最大、最小值．设Ｐ（x,y）是坐标适合条件的点，则Ｐ在以为顶点的内（包括边界）．设t=y-2x,则y=2x+t.由t的几何意义Ｗ最大值＝５Ｗ最小值＝４．
  ７．先证
  、∈∈８．四个根之和为１６．
  ９．先由
  １０．
  ∈１１．如图（a）ＢＤ最大时，Ｂ、Ａ、Ｄ在一直线上，ＢＤ＝３.