专题三曲线运动中的动力学问题.doc

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专题三 曲线运动中的动力学问题

重点难点
1．类平抛运动：
求解的方法是利用运动的合成和分解法进行分析：在初速度方向加速度为零，以初速度做匀速直线运动；在垂直于初速度方向有一个恒定的加速度，做静止开始的匀加速直线运动，加速度的大小由合外力决定．通常应结合运动的合成和分解的运动学规律进行求解．
2．圆周运动中的向心力：
向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力向心力是按力的作用效果来命名的，故在分析做圆周运动的物体受力时，切不可在性质力上再添加一个向心力，但对各种情况下向心力的来源应明确．
圆周运动中的动力学方程即将牛顿第二定律应用于圆周运动，由于向心加速度表示不同，有以下各种情况，解题时应根据已知条件进行选择．
F = m = mrω2 = mω = mr = 4π2mrf2
3．圆周运动中的临界问题:
（1）没有别的物体支持的质点做圆周运动，如细绳系着的物体或沿圆环内壁运动的物体在竖直平面内做圆周运动，在通过轨道最高点时的速度的临界值为υ = ．当υ≥时，物体能通过最高点;当υ＜时，物体还没有到最高点时，就脱离了轨道．
（2）受别的物体约速的质点做圆周运动，如套在圆环上的物体，有轻杆或管约束的物体在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，物体通过最高点的速度可以为任何值，即υ≥0．当υ＞时，环、杆或管对物体的作用力方向向下；当υ= 时，没有作用力；当0＜υ＜时，作用力方向向上．
规律方法
【例1】如图所示，质量为m的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的k倍，它与转台转轴OO′相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到相对转台开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为 （　B　）
A．0　　　　 B．小于kmgR　　　　
C．等于kmgR　　　　D．大于kmgR
训练题 如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端固定有一个质量为m的小球．使小球在水平面内作半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，则杆的上端受到球对杆的作用力大小为 （ C ）
A．mω2R 　　　　
B．m　　　　
C．m　　　 　
D．不能确定
　　【例2】如图所示，线的上端固定，下端系一小球，将小球与线拉到一水平位置后从静止开始释放，求小球的摆线运动到与水平方向成多大角度时，球获得最大的竖直分速度?（反三角函数表示）．
【解析】设小球从线水平开始转过角度θ时，速度为v，此过程中机械能守恒，则有：mglsinθ = mυ2，得：υ2 = 2glsinθ
此时小球受重力mg和线的拉力FT如图所示，在沿绳方向，由牛顿第二定律有：FT-mgsinθ = m，代入υ2得：FT = 3mgsinθ
小球在竖直方向先加速后减速，当小球在竖直方向的加速度为零时，可获得最大的竖直分速度，即：FTsinθ-mg = 0，代入Ft可得sin2θ = 
即当θ = arcsin（）时，小球获得竖直方向最大的分速度．
训练题如图所示，已知瓦特节速器上有固定有重球的两根棒，棒长各为20cm，电机在运动转时，两棒与竖直的转轴AB之间夹角为60°，如图所示，求此时节速器的转速为多少?
答案：n=96r/min

【例3】如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的细线相连，开始时A、B与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间最大静摩擦力均为重力的μ倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力wh当转台的角速度达到多大时A物块开始滑动?
【解析】线上刚开始出现张力时，B受的最大静摩擦力刚好充当向心力，即：μmg = mω2（2L），得ω = 
当A所受摩擦力达到最大静摩擦力时，A开始滑动，设此时线中张力为F，由牛顿第二定律，对A有：μmg-F = mω′2L
对B有：F+μmg = mω′2（2L）
由上述两式有：ω′ = 
即当转台的角速度达到时，线上开始出现张力，当角速度达到时，A开始滑动．
训练题如图所示，细绳一端系看质量M = 0.6kg的物体静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m = 0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，设M和水平面间的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（取g = 10m/s2）
答案：2。9r/s≤ω≤6。5r/s

能力训练
1．如图，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时，由于球对杆有作用，使杆发生了微小形变，关于杆的形变量与球在最高点时的速度大小关系，正确的是　（ C ）
A．形变量越大，速度一定越大　　　　　B．形变量越大，速度一定越小
C．形变是为零，速度一定不为零　　　　D．速度为零，可能无形变
2．（05年荆门）如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正立方体物块；B、C处物块的质量相等，为m，A处物块的质量为2m；A、B与轴O的距离相等，为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是（ ABC ）
A．C处物块的向心加速度最大
B．B处物块受到的静摩擦力最小
C．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块
D．当转速继续增大时，最后滑动起来的是A处的物块
3．两个正、负点电荷，在库仑力的作用下，它们以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说法中正确的是（ BC ）
A．它们所受的向心力大小不相等　　　　　B．它们做匀速圆周运动的角速度相等
C．它们的线速度与其质量成反比　　　　D．它们的运动半径与电荷量成反比
4．（05年南京）如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r = 20cm处放置一小物块A，其质量m = 2kg，A与盘面间的静摩擦力的最大值为其重力的k倍（k = 0．5），试求：
（1）当圆盘转动的角速度ω = 2rad/s，物块与圆盘间的摩擦力为多大?方向如何?
（2）若使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度是多大? （取g = 10m/s2）
答案：⑴方向为指向圆心。　　　　　　　
⑵　　　　　　　　　　　　　　　

5．（05年淮安）如图一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球，今使手握的一端在水平桌面上做半径为R，角速度为ω的匀速圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平面内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为P，求：

（1）小球做匀速圆周运动的线速度大小；
（2）小球在运动过程中受到的摩擦力的大小．
答案：（1）v=（R2+L2）1/2
（2）f=P/ω（R2+L2）1/2

6．光滑水平面上，一个质量为2kg的物体从静止开始运动，在前5s受到一个沿正东方向大小为4N的水平恒力作用；以第5s未开始改为一个沿正北方向大小为2N的水平恒力作用了10s，求物体在这15s内的位移和15s末的速度．
答案：（1）s=135m ，方向东偏北θ=arctan2/5
（2）v=14．1m/s ，方向东偏北α=450

7．（05年山东）铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下图表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h．
弯道半径r/m
660
330
220
165
132
110
内外轨高度差h/mm
50
100
150
200
250
300
（1）根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r=440m时，h的设计值；
（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v（以km/h为单位，结果取整数；路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理）
（3）随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求．为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施？
答案：（1）分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数C=660m×50×10－3m=33m2
因此 h·r=33（或h=33）
当r=440m时，有： h=m=0.075m=75mm
（2）转弯中，当内外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示．由牛顿第二定律得：

因为θ很小，有：
得：
代入数据得：v=15m/s=54km/h
（3）有效措施有：a．适当增大内外轨的高度差h；b．适当增大铁路弯道的轨道半径r．

8．（05年江西）水平放置的木柱，横截面为边长等于a的正四边形ABCD；摆长l =4a的摆，悬挂在A点（如图1—14所示），开始时质量为m的摆球处在与A等高的P点，这时摆线沿水平方向伸直；已知摆线能承受的最大拉力为7mg；若以初速度v0竖直向下将摆球从P点抛出，为使摆球能始终沿圆弧运动，并最后击中A点．求v0的许可值范围（不计空气阻力）．
答案：摆球先后以正方形的顶点为圆心，半径分别为R1=4a，R2=3a，R3=2a，R4=a为半径各作四分之一圆周的圆运动．
当摆球从P点开始，沿半径R1=4a运动到最低点时的速度v1，
根据动量定理 ①
当摆球开始以v1绕B点以半径R2=3a作圆周运动时，摆线拉力最大，为Tmax=7mg，这时摆球的运动方程为 ②
由此求得v0的最大许可值为．
当摆球绕C点以半径R3=2a运动到最高点时，为确保沿圆周运动，
到达最高点时的速度（重力作向心力）
由动能定理
∴
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