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1、第5讲 椭 圆
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，OM＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．
解析 由题意知，在△PF1F2中，OM＝PF2＝3，
∴PF2＝6，∴PF1＝2a－PF2＝10－6＝4.
答案 4
2．已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于________．
解析 由得2 2、1,0)，离心率等于，则C的方程是________．
解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.
答案 ＋＝1
4．(2014·汕头一模)已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有________个．
解析 当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．
答案 6
5．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M， 3、N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为________．
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.
答案 7
6．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以＝＝＝3.
答案 3
7．(2013·辽宁卷改编)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的 4、左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．
解析 如图，设AF＝x，则cos∠ABF＝＝.
解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF1＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以F1F＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，∴＝.
答案
8．(2015·乌鲁木齐调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析 设P(x，y 5、)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
答案
二、解答题
9．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN＝5F1N，求a，b.
解 (1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去) 6、．故C的离心率为.
(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①
由MN＝5F1N，得DF1＝2F1N.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝ 2 .
10. (2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
7、
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)因为B(0，b)，所以BF2＝＝a.
又BF2＝，故a＝.
因为点C在椭圆上，
所以＋＝1，解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.又b2＝a2－c2，整理 8、得a2＝5c2.
故e2＝，因此e＝.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
1．(2014·南京、盐城调研)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列，则AB＝________.
解析 依题意得AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝(AF1＋BF1)＋(AF2＋BF2)＝AB＋(AF2＋BF2)＝3AB＝4×2，AB＝.
答案
2．(2015·云南统一检测)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PM＋PF1的最大值为________．
解析 PF1＋PF2＝10 9、PF1＝10－PF2，
PM＋PF1＝10＋PM－PF2，
易知M点在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，
此时PM－PF2取最大值MF2，
故PM＋PF1的最大值为
10＋MF2＝10＋＝15.
答案 15
3．(2015·陕西五校联考)椭圆＋＝1(a为定值，且a＞)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．
解析 设椭圆的右焦点为F′，如图，由椭圆定义知，AF＋AF′＝BF＋BF′＝2a.
又△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a，
当且仅当AB过右焦点F′时等 10、号成立．此时4a＝12，则a＝3.故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，所以e＝＝.
答案
4．(2015·南京模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；
(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．
解 (1)由条件得＋＝1，且c2＝2b2，
所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设l1的方程为y＋1＝k(x＋1)，联立
消去y得(1＋3k2)x2＋ 11、6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0.
因为P为(－1，－1)，
解得M.
当k≠0时，用－代替k，得N
将k＝－1代入，得M(－2,0)，N(1,1)．
因为P(－1，－1)，所以PM＝，PN＝2，
所以△PMN的面积为××2＝2.
(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，
从而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.
若x1＋x2＝0，则N(－x1，－y1)．
因为PM⊥PN，所以·＝0，得x＋y＝2.
又因为x＋3y＝4，所以解得x1＝±1，
所以M(－1,1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1,1)．
所以直线MN的方程为y＝－x.
若x1－x2＝0，则N(x1，－y1)，
因为PM⊥PN，所以·＝0，得y＝(x1＋1)2＋1.
又因为x＋3y＝4，所以解得x1＝－或－1，
经检验：x1＝－满足条件，x1＝－1不满足条件．
综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－.
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