奥数二年级讲义小二教案163第六讲七座桥问题.doc

第六讲 七座桥问题

二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想．在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了．
今天，我们小学生也要大胆地研究研究它．
这个问题叫做“七座桥问题”．
当时，德国有个城市叫哥尼斯堡．城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处(见下图)．俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：
如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法?

好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走．
你是怎样试的呢?你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛．因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛。也没有桥，但在你面前却有一张图!
可是，这又是一张什么样的图呢?图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式．可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”．
这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要．
也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧!好!你做得很好!为什么这样说呢?因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖．
你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”．看来你并不缺少这种想像力!
让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗?用一句数学上常用的话说，这
就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来．
在下页左图中把陆地想像成了几大块．这对过桥问题并不产生影响．
在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质．

在下面左图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂．
在下面右图中，圆进一步缩成了点．这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形

了．经过上面这样的一番简化,七桥问题的确就变成了上右图(即为第五讲习题l中的图(9))是不是能一笔画成的问题了．很容易看出图中共有4个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥．
这样七桥问题就得到了圆满的解决．
这种解法是大数学家欧拉找到的．这种简化也就是一种抽象过程．所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面．而只抓住那个能体现问题实质的东西．
就像在七桥问题中，陆地和岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西．
最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：
①把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了．
②如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥．
③由前述判定法则可知，有0个奇点或2个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来．
模仿这种思路，也能解决类似好多问题．

习 题 六
1．学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断(见下图)．
过桥问题：
可否一次通过的桥(每座桥只能走一次)?
例:

仿此例依次判断出：

2．下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，你能一次不重复地走遍所有的小桥吗?
(每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走)

3．在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗?(每座桥只能走一次)

4．下图所示为一座售货厅．问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗?请说明你的理由．
如果售厅出现在4号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从4号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门?

习题六解答
1．解：见下图
过桥问题： 一笔画问题：
可否一次通过所有的桥 可否一笔画成图形(笔不
(每座桥只能走一次) 能抬起，不能重复)

2．解：见下两图，可知不能一次不重复地走遍所有的小桥，因为下右图有4个奇点．

3．解：由于通过两岛之中任何一个岛的桥的数目都是偶数，而通过两岸的任一个岸的桥的数目都是奇数，这就表示由任一个岸出发，都存在一条路，使人们将所有的桥都只走一次而到达另外一个岸．画出图来就能一目了然了．见下图．

因为图中共有两个奇点，且奇点均为岸，是一笔画．
所以人们可以一次通过所有的桥，每座桥只走一次，由一岸到另一岸．
4．解：从入口进入售货厅后，也就是从l号房间开始不能一次不重复地走遍各个门,因为虽然整个图形(见下图)只有2个奇点，但点1是偶点．
当出口在4号房间时，如再在1号和3号房间之间开一个门，则从1号房间开始后就能一次不重复地走遍各个门．因为点1变成了奇点，点4仍为奇点，而整个图形只有2个奇点，因此可以从l号房间进，4号房间出．见下图(进入售货厅后先从1号房间进入3号房间即可)．