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[初中数学论文]
《勾股圆方图》与中考试题

什么是“勾股圆方图”呢？这还得从勾股定理的证明谈起。勾股定理的证明，自古以来引起人们的极大兴趣，其证法至今已约有四百种之多，是几何定理中证法最多的一个。证法种种，风格各异。我国古代数学家证明勾股定理的独特风格，在数学大苑中开出了一朵芳香的鲜花。三国时期数学家赵爽（公元三世纪初）的证法十分巧妙！赵爽证法用了“弦图”。所谓“弦图”，就是以弦为边的正方形。
他在《勾股圆方图注》中写道：“案弦图，
又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以
勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
这意思是：在“弦图”内，以正方形的边为弦，作
四个全等的直角三角形，得到图1（此图称为勾
股圆方图）。赵爽称直角三角形的面积为“朱实”，
中间小正方形的面积为“黄实”。设直角三角形的
勾、股、弦分别为a、b、c，则ab为二个朱实，
2ab为四个朱实，为黄实。四个朱实加上一个黄实就等于弦实。所以2ab+(b-a)2=c2。赵爽先巧妙地构造“弦图”，再经过简单的代数运算，获得几何问题的证明。真是构思精巧，证法直观、简捷、严谨，并融代数几何于一体，鲜明地体现了我国古代证题术的独特风格。
以《勾股圆方图注》为原型或对上图进行拓展及其思想在近年中考中以上图的考题屡屡出现。
一、图形原型应用试题展示

（图1） （图2）
1、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1）。如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）。
A. 13 B. 19 C. 25 D. 169
分析：由勾股定理得a2+b2=13，由面积关系得(a-b)2=1，建立a，b的方程组。整理后可得（a+b）2=25。顾得C
2、如图2，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（ ）
A. 2√5 B. 3√5 C. 5 D. √5
分析：此题对勾股圆方图稍加变化，可用面积割补进行解答，也可借助勾股圆方图的特征加以解决。选C。
二、图形拓展后的试题展示
参考勾股圆方图的证明方法，还可以对四个直角三角形和正方形进行调整（如下图）。先巧妙地构造“勾股图”，再经过简单的代数运算，获得几何问题的证明。

“弦图” “勾股图”
3、如图3，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（ ）
A. 3∶4 B. 5∶8 C. 9∶16 D. 1∶2
分析：此题可用面积割补计算出两部分的面积再解答；也可借助“勾股图”的特征加以解决；还可以利用相似多边形的性质进行解答。选B。

（图3） （ 图4） （图5）

4、如图4，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm，四边形EFGH的面积等于 cm。
分析：可用直角三角形的性质解决；可借助“勾股图”的特征加以解决；也可以利用相似多边形的性质进行解答。填入：8√2；8。

5、如图5，把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得四边形A1B1C1D1，请问：怎样剪才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下的面积为原来正方形面积的5/9，请说明理由。
分析：此题与4、5两题都是以“勾股图”为背景设计而来。假设四边形为满足要求的正方形，由对称性可得图中4个直角三角形全等，且每个面积为1/9=1/2AA1·AD1,即AA1·AD1=2/9。再由已知AA1+AD1=1，从中求出AA1和AD1的长。此题以勾股圆方图的拓展图形为背景的操作、探究、计算问题，常用方程思想解决问题。结论：当AA1=BB1=CC1=DD1=1/3时满足题意。

6、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法。如图6，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB1C1D1的位置，连结CC1，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BC1CD1的面积证明勾股定理：a2+b2=c2。
分析：本题也是以“勾股图”为背景的试题，其原型是美国一位前总统给出的一种证明方法。其实质还是“勾股图”。如图7，去掉上面部分即为此图。

（图6） （图7）
三、进一步拓展后的试题展示
再次拓展主要有两类：1）在大正方形的四个角处剪掉的图形改变。如第7题，剪掉的是四个四边形，第8题，剪掉四个矩形。2）把大正方形改为正三角形。如第9题。
7、现有若干张边长不相等但都大于4cm的
正方形纸片，从中任选一张，如图8从距离正方
形的四个顶点2cm处，沿450角画线，将正方形
的纸片分成5份，则中间阴影部分的面积是 ；
若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，
并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？
（图8）
分析：此题在原正方形的四角处按一定的条件剪去一个四边形，与第5题类似。解答时可以延长内部小正方形的边长，构造出等腰直角三角形可以求出；也可以先求出AB=2√2，再利用图形的特征可得到CD=2√2，所以阴影部分的面积为8cm2。由此可以得到规律：阴影部分的面积始终为8 cm2。

8、如图9用四个相同的小矩形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案。已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长（），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
A．x+y=7 B．x-y=2 C．4xy+4=49 D．x2+y2=25
分析：利用四个小矩形全等，可以得出A正确；利用矩形的边长和小正方形的周长可判断B是正确的；利用大正方形的面积可以得出C正确；利用选项A、B可以得出4（x2+y2）=53，所以D是错误的。此题把勾股图的内涵在几个选项中得到了充分体现。

(图9) （图10）
9、如图10，△ABC为正三角形，且∠1=∠2=∠3，试说明画有阴影的三角形为正三角形。
分析：易证得外边的三个三角形全等，通过线段的加减得出阴影三角形的三边相等，从而得出该三角形为正三角形。

对日常教学的启示
1、 通过历史问题的引入，有效地提高学生学习的兴趣；
2、 鼓励学生自主探究，揭示数学问题的本质和内涵。数学教学活动是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动，要让学生经历自己独立的思考，得出有关数学结论的过程，更好的体会数学问题中所蕴含的数学思想和方法；
3、 引导鼓励学生在学习上作有心人，经常进行自主归纳总结，运用类比方法解决类似问题；鼓励学生多用化归手段解决“新问题”，把陌生的问题转化为熟悉的问题。

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