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全国2010年4月高等教育自学考试
复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
3、
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.arg（-1+）=（ ）
A.- B.
C. D.+2nπ
2.w=|z|2在z=0（ ）
A.不连续 B.可导
C.不可导 D.解析
3.设z=x+iy，则下列函数为解析函数的是（ ）
A.f（z）=x2-y2+i2xy B.f（z）=x-iy
C.f（z）=x+i2y D.f（z）=2x+iy
4.设C为由z=-1到z=l的上半圆周|z|=1，则=（ ）
4、
A.2πi B.0
C.1 D.2
5.设C为正向圆周|z|=1，则=（ ）
A.-πi B.0
C.πi D.2πi
6.设C为正向圆周|z|=2，则dz=（ ）
A.0 B.e-1
C.2πi D.-πe-1i
7.z=0是的极点，其阶数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
8.以z=0为本性奇点的函数是（ ）
A. B.
C. D.
9.设f（z）的罗朗展开式为-+（z-1）+2（z-l）2+…+n（z-1）n+…则Res[f（z）,1]=（ ）
A.-2 B.-1
C.1 D.2
10.设z=a
5、为解析函数f（z）的m阶零点，则函数在z=a的留数为（ ）
A.-m B.-m+l
C.m-1 D.m
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分,共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.|z-i|=|z-1|的图形是_______________.
12.设z=ii，则Im z=_______________.
13.设C为由点z=-l-i到点z=l+i的直线段，则dz=_______________.
14.设C是顶点为z=±,z=±的菱形的正向边界，则dz=______________.
15.设C为正向圆周|z|=1，则cos zd
6、z=_________.
16.函数在点z=4的泰勒级数的收敛半径为_________.
三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17.设z=x+iy,求复数的实部与虚部.（6分）
18.求复数i8-4i25+i的模.（6分）
19.求f（z）=（z-1）2ez在z=1的泰勒展开式.（6分）
20.求f（z）=在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.（6分）
21.求解方程cos z=2.（7分）
22.设z=x+iy,试证v（x,y）=x2+2xy-y2为调和函数，并求解析函数f（z）=u（x,y）+iv（x,y）.（7分）
23.设C为正向圆周|z-2|=1,求dz.（7分
7、
24.设C为正向圆周|z|=1，求dz.（7分）
四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）
25.（1）指出f（z）=在上半平面内的所有奇点及类型；
（2）计算f（z）在以上奇点的留数；
（3）利用以上结果计算实积分dx.
26.设D为Z平面上的扇形区域00;
（2）w=f2（w1）把Im w1>0映射为W平面上的单位圆盘|w|<1，并且满足f2（2i）=0;
（3）w=f（z）把Z平面上的区域D映射为W平面上的单位圆盘|w|<1.
27.用拉普拉斯变换解方程y（t）=sin t-2
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