【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题14_复数_理(2000-2006).doc

【2006高考试题】
一、选择题（共11题）
2．（北京卷）在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
解：故选D
3．（福建卷）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
4．（广东卷）若复数满足方程，则
A. B. C. D.
解析：由，故选D.
5．（江西卷）已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ ）
A． B. C. D.
解：故选D。
6．（全国卷I）如果复数是实数，则实数
A． B． C． D．
解析：复数=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴ 1+m3=0，m=－1，选B.

8．(陕西卷)复数等于( )
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
解析: 复数=，选C．

11．（浙江卷）已知
(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i
【考点分析】本题考查复数的运算及性质，基础题。
解析：，由、是实数，得
∴，故选择C。
二、填空题（共4题）
12．（湖北卷）设为实数，且，则 。
解：，
而 所以，解得x＝－1，y＝5，
所以x＋y＝4。
13．(上海卷)若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
解：已知；
14．(上海卷)若复数满足（为虚数单位），其中则。
【2005高考试题】
1（广东卷）若，其中、，使虚数单位，则(D)
（Ａ）０（Ｂ）２（Ｃ）（Ｄ）５
2.（北京卷）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ．
3. （福建卷）复数的共轭复数是 （ B ）
A． B． C． D．
4. （湖北卷） （ C ）
A． B． C． D．
5. （湖南卷）复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是　 （B）
　 A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．i
6. （辽宁卷）复数在复平面内，z所对应的点在 （B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7. (全国卷II) 设、、、，若为实数，则 ( A)
(A) (B) (C) (D)

8. (全国卷III) 已知复数.
9. （山东卷）（1） （ D ）
（A） （B） （C）1 （D）
10. （天津卷）2．若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为 （ C ）
A．－2 B．4 C．－6 D．6
11. （浙江卷）在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( B )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
12. (重庆卷) （ A ）
A． B．－ C． D．－
13. （江西卷）设复数：为实数，则x=（ A）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
14.（上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)

【2004高考试题】
1.（北京）当时，复数在复平面上对应的点位于（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．（上海）若复数满足，则的实部是 1 。
3．（湖北）复数的值是 （ A ）
A．－16 B．16 C． D．
4．（湖南）复数的值是 （ D ）
A． B．－ C．4 D．－4

【2003高考试题】
※3.（2002京皖春，4）如果θ∈（，π），那么复数（1＋i）（cosθ＋isinθ）的辐角的主值是（ ）
A.θ＋ B.θ＋ C.θ D.θ＋
4．（2002全国，2）复数（i）3的值是（ ）
A. －i B.i C.－1 D.1

5.（2002上海，13）如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
图12—1

※6.（2001全国文，5）已知复数ｚ＝，则arg是（ ）
A. B. C. D.
※9.（2000上海理，13）复数z＝（i是虚数单位）的三角形式是（ ）
A.3［cos（）＋isin（）］ B.3（cos＋isin）
C.3（cos＋isin） D.3（cos＋isin）
10.（2000京皖春，1）复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
※12.（1998全国，8）复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）
A. B.
C.± D.±
13.（1996全国，4）复数等于（ ）
A.1+i B.－1+i
C.1－i D.－1－i
14.（1994上海，16）设复数z=－i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（ ）
A.3 B.4 C.6 D.7
15.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|z－i|=2，那么|z+i+1|的最小值是（ ）
A.1 B. C.2 D.
二、填空题
16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+＞2的一个充要条件是z满足 .
17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i（x1、y1x2、y2为实数），定义运算“⊙”为：z1⊙z2＝x1x2＋y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点．如果w1⊙w2＝0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为 ．
18.（2002上海，1）若z∈C，且（3＋z）i＝1（i为虚数单位），则z＝ ．
19.（2001上海春，2）若复数z满足方程i=i－1（i是虚数单位），则z=_____.
20.（1997上海理，9）已知a=（i是虚数单位），那么a4=_____.
21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）=4+3i，那么z=_____.
三、解答题
26.（2001上海理，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝．
（Ⅰ）设α是方程x＋的一个根，试用列举法表示集合Mα；
（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：MωMz．
27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝zn，n∈N｝．
（Ⅰ）设z是方程x+=0的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；
（Ⅱ）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．
28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5（m∈R），求z和m的值.
※30.（1999全国理，20）设复数z＝3cosθ＋i·2sinθ.求函数y＝θ－argz（0＜θ＜）的最大值以及对应的θ值.
※31.（1999上海理，19）已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实数根b，且z=a+bi，求复数（1－ci）（c＞0）的辐角主值的取值范围.
※32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2=3+i，ω=sinθ－icosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.
※33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2的模.

※34.（1998上海理，18）已知向量所表示的复数z满足（z－2）i=1+i，将绕原点O按顺时针方向旋转得，设所表示的复数为z′，求复数z′+i的辐角主值.
※35.（1997全国文，20）已知复数z=i，w=i，求复数zw+zw3的模及辐角主值.
38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+是实数，且－1＜ω＜2.
（Ⅰ）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（Ⅱ）设u=，求证：u为纯虚数；
（Ⅲ）求w－u2的最小值.
39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|＝1，且z1+z2=i.求z1、z2的值.
※40.（1995全国文，22）设复数zcosθ+isinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.
※41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.
※42.（1994全国理，21）已知z=1+i，
（Ⅰ）设w=z2+3－4，求w的三角形式.
（Ⅱ）如果=1－i，求实数a，b的值.
43.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为π，且为实数，求复数w.
●答案解析
2.答案：A
解析：由已知z=［（m－4）－2（m+1）i］在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.
3.答案：B
解析：（1＋i）（cosθ＋isinθ）＝（cos＋isin）（cosθ＋isinθ）
＝［cos（θ＋）＋isin（θ＋）］
∵θ∈（，π） ∴θ＋∈（，）
∴该复数的辐角主值是θ＋．

6.答案：D
解法一：
解法二： ∴
∴应在第四象限，tanθ＝，θ＝arg．
∴arg是π．

8.答案：B
解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是
．
9.答案：C
解法一：采用观察排除法.复数对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.

解法二：把复数直接化为复数的三角形式，即

12.答案：D
解法一：∵－i=cos+isin
∴－i的三个立方根是cos（k=0，1，2）
当k=0时，；
当k=1时，；
当k=2时，.
13.答案：B
解法一：，
故（2+2i）4=26（cosπ+isinπ）=－26，1－，
故.
于是,
所以选B.
解法二：原式=

∴应选B
14.答案：B
解析：z=－i是z3=1的一个根，记z=ω，ω4=ω，故选B.
17.答案：
解析：设
∵w1⊙w2＝0 ∴由定义x1x2＋y1y2＝0
∴OP1⊥OP2 ∴∠P1OP2＝．

21.答案：2+i
解析：由已知，
故z=2+i.
22.解法一：设z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．
由题意，得a＝3b≠0．
∵|ω|＝，
∴|z|＝．
将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±15．
故ω＝±＝±（7－i）．
解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0且k∈R，
则ω＝．
∵|ω|＝5，∴k＝±50．
故ω＝±（7－i）．
23.解：∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝（a＋2b）＋（a－2b）i，
（a＋2z）2＝（a＋2）2－4＋4（a＋2）i＝（a2＋4a）＋4（a＋2）i，
因为a，b都是实数，所以由az＋2b＝（a＋2z）2得

两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，
解得a1＝－2，a2＝－4，
对应得b1＝－1，b2＝2．
所以，所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2．

（Ⅱ）z7＝1，z＝cosα＋isinα
∴z7＝cos7α＋isin7α＝1，7α＝2kπ
z＋z2＋z4＝－1－z3－z5－z6
＝－1－［cos（2kπ－4α）＋isin（2kπ－4α）＋cos（2kπ－2α）＋isin（2kπ－
2α）＋cos（2kπ－α）＋isin（2kπ－α）］
＝－1－（cos4α－isin4α＋cos2α－isin2α＋cosα－isinα）
∴2（cosα＋cos2α＋cos4α）＝－1，
cosα＋cos2α＋cos4α＝－
解法二：z2·z5＝1，z2＝
同理z3＝，z＝
∴z＋z2＋z4＝－1－－－
∴z＋＋＋z＋＋z＝－1
∴cos2α＋cosα＋cos4α＝
解法二：|z|＝1可看成z为半径为1，圆心为（0，0）的圆.
而z1可看成在坐标系中的点（2，－2）
∴|z－z1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z－z1|max＝2＋1
26.（Ⅰ）解：∵α是方程x2－x＋1＝0的根
∴α1＝（1＋i）或α2＝（1－i）
当α1＝（1＋i）时，∵α12＝i，α12n－1＝
∴
当α2＝1－i）时，∵α22＝－i
∴
∴Mα＝｝

28.解：设z＝x＋yi（x、y∈R），
∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25，
而（3＋4i）z＝（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）＋（4x＋3y）i，
又∵（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，
∴3x－4y＋4x＋3y＝0，得y＝7x
∴x＝±，y＝±
即z＝±（＋i）；z＝±（1＋7i）．
当z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝5，
即（1－m）2＋72＝50，
得m=0，m=2.
当z＝－（1＋7i）时，同理可得m＝0，m＝－2．
解：∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q（x＋y，x－y）仍在该直线上，
∴x－y＝k（x＋y）＋b，
即－（k＋1）y＝（k－）x＋b，
30.解：由0＜θ＜得tanθ＞0．
由z＝3cosθ＋i·2sinθ，得0＜argz＜及tan（argz）＝tanθ
故tany＝tan（θ－argz）＝
∵＋2tanθ≥2
∴≤
当且仅当＝2tanθ（0＜θ＜）时，
即tanθ＝时，上式取等号.
所以当θ＝arctan时，函数tany取最大值
由y＝θ－argz得y∈（）．
由于在（）内正切函数是递增函数，函数y也取最大值arctan．
评述：本题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.明考复数实为三角.语言简练、情景新颖，对提高考生的数学素质要求是今后的命题方向.

∴复数（1－ci）的辐角主值在［0，
范围内，有arg［（1－ci）］＝arctan＝arctan（－1），
∵0＜c≤1，∴0≤－1＜1，
有0≤arctan（－1）＜，
∴0≤arg［（1－ci）］＜．
32.解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a－bi，代入4z+2=3+i
得4（a+bi）+2（a－bi）=3+i.
∴.∴z=i.
|z－ω|=|i－（sinθ－icosθ）|
=
∵－1≤sin（θ－）≤1，∴0≤2－2sin（θ－）≤4.
∴0≤z－ω|≤2.
评述：本题考查了复数、共轭复数的概念，两复数相等的充要条件、复数的模、复数模的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力.

34.解：由（z－2）i=1+i得z=+2=3－i
∴z′=z［cos（－）+isin（－）］=（3－i）（i）=－2i
z′+i=－i=2（i）=2（cosπ+isinπ）
∴arg（z1+i）=π
评述：本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念.
35.解法一：zw+zw3=zw（1+w2）=（i）（i）（1+i）
=（1+i）2（i）=

故复数zw+zw3的模为，辐角主值为.
解法二：w=i=cos+isin
zwzw3=z（w+w3）=z［（cos+isin）+（cos+isin）3］
=z［（cos+isin）+（cos+isin）］=z（）
=
故复数zw+zw3的模为，辐角主值为π.
评述：本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力.

又因为|OP|=||=1，|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1
∴|OP|=|OQ|.
由此知△OPQ为等腰直角三角形.
证法二：∵z=cos（－）+isin（－）.
∴z3=－i
又ω=.
∴ω4=－1
于是
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|
故△OPQ为等腰直角三角形.
（2）由z1=1+mi（m＞0），z12=z2得z2=（1－m2）+2mi
∴ω=－（1+m2）+2mi
tanθ=－
由m＞0，知m+≥2，于是－1≤tanθ≤0
又 －（m2+1）＜0，2m＞0，得π≤θ＜π
因此所求θ的取值范围为［π，π）.
38.解：（Ⅰ）设z=a+bi，a、b∈R，b≠0
则w=a+bi+
因为w是实数，b≠0，所以a2＋b2=1，
即|z|=1.
于是w=2a，－1＜w=2a＜2，－＜a＜1，
所以z的实部的取值范围是（－，1）.
（Ⅱ）.
因为a∈（－，1），b≠0，所以u为纯虚数.
39.解：由|z1＋z2|=1，得（z1+z2）（）=1，又|z1|=|z2|=1，故可得z1+z2=－1，所以z1的实部=z2的实部=－.又|z2|=1，故z2的虚部为±，
z2=－±i，z2=z1.
于是z1+z1，
所以z1=1，z2=或z1=，z2=1.
所以，或
40.解法一：z2+z=（cosθ+isinθ）2+cosθ+isinθ=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ
=2cosθcos+i·2sincos=2cos（cosθ+isinθ）
=－2cos［cos（π+θ）+isin（π+θ）］
∵θ∈（π，2π），∴∈（，π），∴－2cos＞0
∴复数z2+z的模为－2cos，辐角为2kπ+π+θ（k∈Z）
解法二：设Z1、Ｚ3对应的复数分别是z1、z3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得
∴z1＝z2（1－i）＝（1－i）（1－i）＝i
z3＝z2－z1＝（1＋i）－（i）＝i
42.解：（Ⅰ）由z=1+i，有w=（1+i）2＋3（1－i）－4=－1－i，所以w的三角形式是
（cos）

43.解：因为w为复数，argw＝，所以设w=r（cos＋isin），
则，
从而4－r2＝0，得r=2.
因此w＝2（cos＝－＋i．
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