高考数学试题分类汇编（立体几何）20081018_3918663_0.doc

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2007年高考数学试题分类汇编（立体几何）
一．选择题
1．(2007安徽·文)设均为直线,其中在平面
的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
2．(2007安徽·文)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为（ ）
(A) (B) (C) (D)
3．(2007北京·文) 平面平面的一个充分条件是（　　）
Ａ．存在一条直线
Ｂ．存在一条直线
Ｃ．存在两条平行直线

Ｄ．存在两条异面直线
4．(2007福建·文) 如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．(2007广东·文) 若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
6．(2007湖北·文) 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．(2007天津·文)设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
A
B
C

F
8．(2007湖南·文) 如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．与垂直 B．与垂直
C．与异面 D．与异面
9．(2007江西·文) 四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

10．(2007全国Ⅰ·文)如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

11．(2007全国Ⅱ·文)已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．(2007陕西·文)Rt△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是
（A）5 （B）6 （C）10 （D）12
(2007四川·文)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
(A）BD∥平面CB1D1 (B)AC1⊥BD
(C)AC1⊥平面CB1D1 (D)异面直线AD与CB所成的角为60°
二．填空题
13．(2007天津·文)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ．
14．(2007全国Ⅰ·文)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
15．(2007全国Ⅱ·文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm．
16．(2007江西·文) 如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点．有下列四个命题
Ａ．点是的垂心
Ｂ．垂直平面
Ｃ．二面角的正切值为
Ｄ．点到平面的距离为
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三．解答题
17．(2007广东·文) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S

解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V-ABCD ;
(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为
因此
18．(2007北京·文) 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角的直二面角．是的中点．

（I）求证：平面平面；
（II）求异面直线与所成角的大小．

解法一：
（I）由题意，，，

是二面角是直二面角，
，又，

平面，
又平面．
平面平面．
（II）作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．
又．
在中，．
异面直线与所成角的大小为．

解法二：
（I）同解法一．

（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，
，，

．
异面直线与所成角的大小为．
19．(2007福建·文) 如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
A
B
D

C
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．

解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
A
B
C
D

O
F
G
连结，在正方形中，分别为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，
作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
A
B
C
D

O
z
x
y

．
所以二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，
平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设平面的法向量为．
，．

令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
20．(2007安徽·文) Ｖ
A
Ｃ
Ｄ
Ｂ
如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．
（I）求证：平面平面；
（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．
解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中点，
，又底面．．于是平面．
又平面，平面平面．
（Ⅱ） 过点在平面内作于，则由（Ⅰ）知平面．
连接，于是就是直线与平面所成的角．
依题意，所以
在中，；
在中，，
．
，．
故当时，直线与平面所成的角为．
解法2：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即．
同理，
即．又，平面．
又平面．
平面平面．
A
D
B
C
V
x
y
z
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由．
得
可取，又，
于是，
即，．
故交时，直线与平面所成的角为．
解法3：（Ⅰ）以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，于是，，．
从而，即．
同理，即．
又，平面．
又平面，
平面平面．
（Ⅱ）设平面的一个法向量为，
则由，得
A
D
B
C
V
x
y
可取，又，
于是，
即．
故交时，
即直线与平面所成角为．
21．(2007湖南·文) 如图3，已知直二面角，，，，，，直线和平面所成的角为．
（I）证明；
（II）求二面角的大小．
A
B
C
Q

P

解：（I）在平面内过点作于点，连结．
因为，，所以，
又因为，所以．
而，所以，，从而，又，
所以平面．因为平面，故．
（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．
过点作于点，连结，由三垂线定理知，．
故是二面角的平面角．
由（I）知，，所以是和平面所成的角，则，
不妨设，则，．
在中，，所以，
于是在中，．
故二面角的大小为．
解法二：由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，．
A
B
C
Q

P
O
x
y
z
在中，，
所以．
则相关各点的坐标分别是
，，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，由得
取，得．
易知是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知，．
所以．
故二面角的大小为．
22．(2007江苏)如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：面；（4分）
（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）

23．(2007江西·文) 右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．
（1）设点是的中点，证明：平面；
（2）求与平面所成的角的大小；
（3）求此几何体的体积．
（1）证明：作交于，连．

则，
因为是的中点，
所以．
则是平行四边形，因此有，
平面，且平面
则面．
（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，
作于，
因为平面平面，则面．
连结，则就是与面所成的角．
因为，，所以．
与面所成的角为．
（3）因为，所以．
．
．
所求几何体的体积为．
解法二：

（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，
，
易知，是平面的一个法向量．
由且平面知平面．
（2）设与面所成的角为．
求得，．
设是平面的一个法向量，则由得，
取得：．
又因为
所以，，则．
所以与面所成的角为．
（3）同解法一
24．(2007全国Ⅰ·文)S
C
D
A
B
四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

解法一：
（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
D
B
C
A
S

E
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设，
故，由，
，
．
又，作，垂足为，
则平面，连结．为直线与平面所成的角．

所以，直线与平面所成的角为．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
D
B
C
A
S

因为，
，
又，所以，
，．
，，
，，所以．
（Ⅱ），.
与的夹角记为，与平面所成的角记为，因为为平面的法向量，所以与互余．
，，
A
E
B
C
F
S
D
所以，直线与平面所成的角为．
25．(2007全国Ⅱ·文) 如图，在四棱锥中，
底面为正方形，侧棱底面
分别为的中点．
（1）证明平面；
（2）设，求二面角的大小．

解法一：
（1）作交于点，则为的中点．
连结，又，
故为平行四边形．
A
E
B
C
F
S
D
H
G
M
，又平面平面．
所以平面．
（2）不妨设，则为等
腰直角三角形．
取中点，连结，则．
又平面，所以而，
所以面．
取中点，连结，则．
连结，则．
故为二面角的平面角
A
A
E
B
C
F
S
D
G
M
y
z
x
．
所以二面角的大小为．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．
设，则
，
．
取的中点，则．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设，则．
中点
又，，
所以向量和的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为．
26．(2007安徽·文) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥v
,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD
(Ⅱ)求二面角的大小.
解法一：（Ⅰ）平面，平面．．
A
E
D
P
C
B
又，．
，，
，即．
又．平面．
（Ⅱ）连接．
平面．，．
为二面角的平面角．
在中，，
，，
二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
则，，，，，
，，，
A
E
D
P
C
B
y
z
x
，．，，
又，面．
（Ⅱ）设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，，
解得．
，．二面角的大小为．
27．(2007四川·文) 如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°
(Ⅰ)求证：AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.
解析：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．
（Ⅰ）∵平面平面，，平面．
∴平面
又∵平面
∴
（Ⅱ）取的中点，则．连接、．
∵平面平面，平面平面，．
∴平面．
∵，∴，从而平面．
作于，连结，则由三垂线定理知．
从而为二面角的平面角．
∵直线与直线所成的角为60°，
∴ ．
在中，由勾股定理得．
在中，．
在中，．
在中，
故二面角的大小为
（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系．
　　　设，有，，．
，
由直线与直线所成的角为60°，得

即，解得．
∴，
设平面的一个法向量为，则
由，取，得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为．
（Ⅲ）多面体就是四棱锥
28。(2007天津·文) 如图，在四棱锥中，底面，

，，是的中点．
（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故．

又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，平面，故．
由条件，，面．
又面，．
由，，可得．
是的中点，，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，可得．设，可得
，，，．
在中，，，则
．
在中，．
所以二面角的大小．

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